Τετάρτη, 10 Σεπτεμβρίου 2014

Εξισώσεις κίνησης και ενέργειας στις αποσβενόμενες ταλαντώσεις

Συνήθως εξετάζουμε τις ταλαντώσεις χωρίς να λαμβάνουμε υπόψιν μας τον παράγοντα τριβές. Θεωρούμε πως σε ένα ταλαντωνόμενο σύστημα δεν υπάρχουν μη διατηρητικές δυνάμεις και ότι η ολική μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή. Η πραγματικότητα είναι διαφορετική όμως. Ένα ταλαντωνόμενο σύστημα πάντα χάνει μηχανική ενέργεια, λόγω των τριβών που ασκούνται σε αυτό με αποτέλεσμα να ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η ελάττωση αυτή ονομάζεται απόσβεση και η κίνηση του σώματος που ταλαντώνεται ονομάζεται αποσβενόμενη ταλάντωση.

Εδώ θα μελετήσουμε την περίπτωση που οι τριβές που ασκούνται στο σώμα είναι ανάλογες με την ταχύτητα του σώματος, δηλαδή όταν

σχήμα 1, φαίνεται το σώμα στην θέση ισορροπίας του (πάνω) και όταν απέχει
από την θέση ισορροπίας απόσταση x (κάτω). Φαίνονται τα διανύσματα
θέσης (x), ταχύτητας (u), δύναμης επαναφοράς (F) και τριβής (T)
Από το σχήμα παρατηρούμε ότι η ολική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το άθροισμα της δύναμης τριβής και δύναμης επαναφοράς. Άρα
Εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στο σώμα έχουμε ότι
Η παραπάνω διαφορική εξίσωση έχει ως λύση την συνάρτηση


Παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι σταθερό αλλά ελαττώνεται εκθετικά συναρτήσει του χρόνου και ότι όσο πιο μεγάλο είναι το b τόσο πιο γρήγορα ελαττώνει το πλάτος. Επίσης η γωνιακή συχνότητα ω' είναι μικρότερη από την φυσική συχνότητα ω του συστήματος που ισούται με

και μηδενίζεται όταν ισχύει

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
  1. Όταν το b είναι ίσο με την παραπάνω τιμή έχουμε κρίσιμη απόσβεση.
  2. Αν το b είναι μεγαλύτερο από αυτή την τιμή έχουμε υπεραπόσβεση.
  3. Όταν το b είναι μικρότερο από την παραπάνω τιμή έχουμε υποκρίσιμη απόσβεση.
Στην περίπτωση της κρίσιμης απόσβεσης και της υπεραπόσβεσης το σύστημα δεν ταλαντώνεται, αλλά όποτε εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του επανέρχεται σε αυτήν χωρίς ταλάντωση.

Η ισχύς της δύναμης T ισούται με το γινόμενο της δύναμης Τ επί την ταχύτητα u του συστήματος άρα ισχύει
Η ολική μηχανική ενέργεια του συστήματος ισούται με
Παίρνοντας την παράγωγο της ολικής μηχανικής ενέργειας έχουμε:
Η παραπάνω σχέση εξαιτίας της (1) γράφεται
Άρα συμπεραίνουμε ότι ο ρυθμός με τον οποίο ενέργεια εγκαταλείπει το σύστημα και μεταφέρεται στο περιβάλλον υπό μορφή θερμότητας ισούται με την ισχύ της δύναμης Τ. 

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου