Πέμπτη, 11 Σεπτεμβρίου 2014

Οι εξισώσεις που διέπουν το κινητικό-μοριακό μοντέλο για το ιδανικό αέριο

Το κινητικό-μοριακό μοντέλο είναι ένα απλό μοντέλο μοριακής θεωρίας που σχετίζει την καταστατική εξίσωση του ιδανικού αερίου με τους νόμους του Νεύτωνα. Για να ισχύει αυτό το μοντέλο πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις:
  1. Το δοχείο, το οποίο έχει όγκο V, εμπεριέχει Ν αριθμό μορίων που το καθένα έχει μάζα m.
  2. Οι διαστάσεις των μορίων σε σχέση με το μέγεθος του δοχείου είναι μικρές, οπότε συμπεριφέρονται σαν υλικά σημεία.
  3. Τα μόρια βρίσκονται σε διαρκή κίνηση, η οποία υπακούει τους νόμους του Νεύτωνα, και οι κρούσεις τους με τα τοιχώματα του δοχείου είναι ελαστικές.
  4. Τα τοιχώματα του δοχείου ούτε παραμορφώνονται ούτε μετακινούνται.

σχήμα 1, ελαστική κρούση μορίου με τοίχωμα. Η ταχύτητα u δεν
αλλάζει μέτρο παρά μόνο κατεύθυνση.
Η πίεση που ασκείται στο δοχείο λόγω του αερίου οφείλεται στις κρούσεις των μορίων του αερίου με τα τοιχώματα του. Κατά την διάρκεια μίας κρούσης ενός μορίου με το τοίχωμα δεν αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας του αλλά μόνο η κατεύθυνση της (σχήμα 1).

σχήμα 2, ένα μόριο  πρόκειται να συγκρουστεί με τοίχωμα
εμβαδού Α σε χρόνο dt. Η συνιστώσα x της ταχύτητας είναι
ux. Στην αρχή του χρονικού διαστήματος dt το μόριο βρίσκεται
σε απόσταση uxdt από το τοίχωμα. Επίσης φαίνεται ο κύλινδρος
που περιέχει τα μόρια που θα συγκρουστούν με τμήμα
τοιχώματος εμβαδού Α εντός του χρονικού διαστήματος dt.
Για να υπολογίσουμε την πίεση που ασκεί το αέριο στο δοχείο συναρτήσει της μέσης ταχύτητας των μορίων ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Αρχικά, υπολογίζουμε την μεταβολής της συνιστώσας x της ορμής ενός μορίου. Η x συνιστώσα της ορμής του αρχικά έχει μέτρο mux και κατεύθυνση προς τα αριστερά, ενώ μετά την κρούση με το τοίχωμα έχει πάλι μέτρο mux και κατεύθυνση προς τα δεξιά. Άρα η μεταβολή της x συνιστώσας της ορμής είναι:                                
Έπειτα, έστω ένα μόριο που πρόκειται να συγκρουστεί με το τοίχωμα σε χρονικό διάστημα dt. Αυτό τότε στην αρχή του χρονικού διαστήματος dt πρέπει να βρίσκεται σε απόσταση uxdt από το τοίχωμα αφού έχει ταχύτητα ux. Έτσι, το σύνολο των μορίων, που θα συγκρουστούν με τμήμα τοιχώματος εμβαδού Α μέσα στο χρονικό διάστημα dt, εμπεριέχονται μέσα σε έναν κύλινδρο με εμβαδόν βάσης Α και ύψος το γινόμενο uxdt (σχήμα 2). Αν ο αριθμός των μορίων ανά μονάδα όγκου είναι Ν/V και ο όγκος του παραπάνω κυλίνδρου είναι Auxdt τότε ο συνολικός αριθμός μορίων που βρίσκονται μέσα στον κύλινδρο είναι

Επίσης, εάν κατά μέσο όρο τα μισά μόρια που περιέχονται στον κύλινδρο κατευθύνονται προς το τοίχωμα ενώ τα άλλα μισά απομακρύνονται από αυτό, τότε ο συνολικός αριθμός μορίων που κατευθύνονται προς το τοίχωμα και περιέχονται στον παραπάνω κύλινδρο είναι ίσος με:
Η συνολική μεταβολή της x συνιστώσας της ορμής των μορίων dPx είναι το γινόμενο του αριθμού των μορίων που κατευθύνονται προς το τοίχωμα με την μεταβολή της x συνιστώσας της ορμής ενός μορίου. Άρα:
Ο ρυθμός μεταβολής της x συνιστώσας της ορμής, από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ισούται με την δύναμη που ασκεί το τμήμα τοιχώματος εμβαδού Α στα μόρια. Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα αυτή η δύναμη κατά μέτρο είναι ίση με την δύναμη που ασκεί το σύνολο των μορίων στο τμήμα τοιχώματος. Άρα η πίεση, που είναι η δύναμη ανά επιφάνεια, ισούται με:
Τώρα θα βρούμε την σχέση της x συνιστώσας της ταχύτητας με την μέση ταχύτητα των μορίων. Επειδή δεν μπορούμε να ξέρουμε ακριβώς την ux θα αντικαταστήσουμε την τιμή της με την μέση τιμή της x συνιστώσας της ταχύτητας. Έπειτα, πρέπει να προσθέσουμε στο μοντέλο μας ότι η ταχύτητα των μορίων έχει και y, z συνιστώσες. Οι συνιστώσες x, y, z της ταχύτητας είναι ισοδύναμες άρα:
Άρα
όπου

Το Kt είναι η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός μορίου.

Τέλος ας εξάγουμε την σχέση που συνδέει την μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός μορίου με την θερμοκρασία του αερίου. Το γινόμενο ΝKt συμβολίζεται με Ktot και είναι η συνολική μεταφορική ενέργεια του αερίου. Οπότε

Όμως λόγω της καταστατικής εξίσωσης ισχύει
όπου n ο αριθμός των mols του αερίου, R η σταθερά των ιδανικών αερίων και T η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου.

Εξαιτίας των σχέσεων
και
όπου ΝA ο αριθμός Avogadro και k η σταθερά Boltzmann, ισχύει
Έτσι συνδυάζοντας την παραπάνω εξίσωση με την εξίσωση (1) έχουμε
Παρατηρούμε ότι η μέση μεταφορική ενέργεια ενός μορίου του αερίου συσχετίζεται μόνο με την απόλυτη θερμοκρασία του αερίου και μεταξύ τους υπάρχει σχέση αναλογίας.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου