Σάββατο, 13 Σεπτεμβρίου 2014

Ορισμένα ολοκληρώματα και απόλυτη τιμή

Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει πολλές χρήσεις στα μαθηματικά. Μερικές από αυτές είναι ο υπολογισμός εμβαδού, όγκου ή μήκους, δηλαδή ποσοτήτων αναγκαίων για μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς. Έτσι αυτά έχουν μεγάλη χρησιμότητα και είναι απαραίτητος ο σωστός χειρισμός τους ώστε να πάρουμε ορθό αποτέλεσμα.


Θα εξετάσουμε τα ολοκληρώματα που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό εμβαδού. Το εμβαδόν Ε που περικλείεται μεταξύ δύο κάθετων ευθειών (x=a και x=b), μίας συνάρτησης f(x) και του άξονα x'x είναι ίσο με:
Συνεπώς βλέπουμε πως υπάρχει απόλυτη τιμή της συνάρτησης μέσα στο ολοκλήρωμα μας. Για να μπορέσουμε να κάνουμε τον υπολογισμό μας πρέπει να "βγάλουμε" την απόλυτη τιμή. Αυτό το πετυχαίνουμε κάνοντας μελέτη πρόσημου της f(x). Δηλαδή εξής εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα των απόλυτων τιμών
Έτσι βρίσκοντας σε ποια διαστήματα η f(x) είναι θετική θεωρούμε ότι
και στα διαστήματα που είναι αρνητική έχουμε

Για να κάνουμε μελέτη του πρόσημου της f(x) βρίσκω πρώτα τις ρίζες της με κάποια αναλυτική ή αριθμητική μέθοδο. Ύστερα λύνω την ανισότητα
για να μπορέσω να βρω το πρόσημο της f(x). Μπορώ, ακόμη, να σχεδιάζω την γραφική της παράσταση και να δω που έχει ρίζες και αν είναι θετική ή αρνητική.

Στα διαστήματα μεταξύ των ριζών η f(x) θα διατηρεί σταθερό πρόσημο αν είναι συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν έχει 2 ρίζες c1, c2 μεταξύ του a και του b και στο διάστημα [α,c1] είναι θετική, στο [c1,c2] είναι αρνητική και στο [c2,b] είναι θετική ισχύει η παρακάτω ισότητα
Ουσιαστικά για να "σπάσουμε" το ολοκλήρωμα στα επιμέρους διαστήματα μας ενδιαφέρουν μόνο οι ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης μεταξύ των a και b.

Επίσης υπάρχει η περίπτωση να θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν που ορίζεται από 2 συναρτήσεις g(x) και h(x) και από τις ευθείες x=a και x=b.

Το ολοκλήρωμα που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι το:
Το ολοκλήρωμα αυτό το αντιμετωπίζουμε με τον ακόλουθο τρόπο:

Θεωρούμε ως
και έτσι αναγόμαστε στο ολοκλήρωμα
και μετά χρησιμοποιούμε την προηγούμενη μέθοδο που αναφέρθηκε για την f(x).

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου