Δευτέρα, 15 Σεπτεμβρίου 2014

Στροφορμή και η αρχή διατήρησης της

Η στροφορμή είναι το αντίστοιχο μέγεθος της ορμής στην περιστροφική κίνηση. Ουσιαστικά δείχνει την "φόρα" που έχει ένα σώμα που περιστρέφεται. Αν ένα σώμα έχει διάνυσμα θέσης r ως προς ένα σημείο Ο τότε το διάνυσμα της στροφορμής δίνεται από τον τύπο
όπου το διάνυσμα p είναι η ορμή του σώματος.

Στην περίπτωση που μία δύναμη F δρα πάνω σε ένα σωματίδιο, η στροφορμή του μεταβάλλεται γιατί μεταβάλλεται η ταχύτητα του. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του ισούται με την ροπή της δύναμης F. Για να αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση παραγωγίζουμε ως προς τον χρόνο την σχέση που δίνει την στροφορμή ενός σώματος συναρτήσει της ορμής του. Έχουμε δηλαδή

όπου F η δύναμη που ασκείται στο σώμα και τ η ροπή που προκαλεί η δύναμη F. Όμως το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος της ταχύτητας u με το διάνυσμα της ορμής p είναι μηδέν αφού τα δύο διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Άρα ο παραπάνω τύπος γίνεται
Οπότε ο χρονικός ρυθμός της στροφορμής ενός σωματιδίου ισούται με τη ροπή της συνολικής δύναμης που ασκείται σε αυτό.

σχήμα 1, σωματίδιο μάζας m κινείται στο επίπεδο xy.
Στο σχήμα 1 έχουμε ένα σωματίδιο που κινείται πάνω στο επίπεδο xy. Επίσης στο σχήμα αυτό μπορούμε να δούμε τα διανύσματα θέσης r και ορμής p. Από τον κανόνα του δεξιού χεριού βλέπουμε πως η κατεύθυνση του διανύσματος στροφορμής L ταυτίζεται με τον άξονα z. Το μέτρο του διανύσματος L είναι
όπου l ο μοχλοβραχίονας (η κάθετη απόσταση του διανύσματος u από το Ο).

Θα γενικεύσουμε την έννοια της στροφορμής για ένα σώμα που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα z. Για να το κάνουμε αυτό θεωρήστε μία λεπτή φέτα του σώματος που βρίσκεται στο επίπεδο xy (σχήμα 2).

σχήμα 2, μία λεπτή φέτα ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω
από τον άξονα z.
Κάθε σωματίδιο της φέτας (μάζας mi) κινείται σε κύκλο με κέντρο το Ο και η στιγμιαία ταχύτητα του ui είναι συνεχώς κάθετη στο διάνυσμα ri. Επίσης, η στιγμιαία ταχύτητα του είναι ui=riω. Για τους λόγους αυτούς το μέτρο της στροφορμής του είναι

Η ολική στροφορμή της φέτας του σώματος που βρίσκεται στο επίπεδο xy είναι το άθροισμα όλων των στροφορμών Li όλων των σωματίων της. Έτσι έχουμε

Αυτή την διαδικασία μπορούμε να την επαναλάβουμε για κάθε φέτα του σώματος που είναι παράλληλη στο επίπεδο xy. Όμως τα σημεία που δεν βρίσκονται στο επίπεδο xy δημιουργούν το εξής πρόβλημα: τα διανύσματα των θέσεων ri έχουν μη μηδενικές συνιστώσες και στην διεύθυνση του άξονα z. Δηλαδή δημιουργούνται συνιστώσες στροφορμής κάθετες στον άξονα z. Στην περίπτωση όμως που ο άξονας z είναι άξονας συμμετρίας του σώματος οι κάθετες συνιστώσες ορμής έχουν μηδενικό διανυσματικό άθροισμα. Άρα η στροφορμή του σώματος που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας του είναι ένα διάνυσμα παράλληλο στον άξονα συμμετρίας του και έχει μέτρο
Αν το σώμα δεν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας του, τότε η διεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής δεν ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής.

Για ένα σύστημα σωματιδίων ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της ολικής στροφορμής είναι ίσος με το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που δρουν σε όλα τα σώματα. Εξαιτίας του τρίτου νόμου του Νεύτωνα οι ροπές των εσωτερικών δυνάμεων μηδενίζονται. Συνεπώς το άθροισμα των ροπών ανάγεται στο το άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων. Αν η ολική στροφορμή του συστήματος είναι L και το άθροισμα των εξωτερικών ροπών είναι Στ τότε

Τώρα θα εξετάσουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι: Όταν η συνισταμένη των εξωτερικών ροπών που δέχεται ένα σύστημα είναι μηδέν, τότε η στροφορμή του συστήματος διατηρείται. Η αρχή αυτή προκύπτει από την εξίσωση (1). Έτσι μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια του απομονωμένου συστήματος ως ένα σύστημα που δεν μηδενίζεται μόνο η ολική εξωτερική δύναμη αλλά και η ολική εξωτερική ροπή. Ως εκ τούτου η ολική στροφορμή ενός απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερή.

Όταν ένα απομονωμένο σύστημα αποτελείται από διάφορα σωματίδια, οι εσωτερικές δυνάμεις προκαλούν μεταβολές στις στροφορμές του κάθε σωματιδίου αλλά η συνολική στροφορμή παραμένει σταθερή. Ορίστε το γιατί: Έστω ένα απομονωμένο σύστημα που αποτελείται από δύο σώματα. Το σώμα 1 δέχεται από το σώμα 2 μία δύναμη F1 η οποία προκαλεί μία ροπή τ1. Άρα για το σώμα 1 ισχύει
Το σώμα 2 δέχεται από το σώμα 1 μία δύναμη F2 η οποία προκαλεί μία ροπή τ2. Άρα για το σώμα 2 ισχύει
Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα οι δύο δυνάμεις F1 και F2 είναι αντίθετες άρα
Επίσης, οι δυνάμεις F1 και F2 δρουν κατά μήκος του ίδιου άξονα οι βραχίονες των ροπών ως προς ένα σημείο είναι ίσοι άρα
Άρα έχουμε ότι 
συνεπώς η ολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται.

Τέλος, θα εξετάσουμε μία εφαρμογή της αρχής διατήρησης της στροφορμής. Έστω ότι έχουμε δύο δίσκους 1 και 2 οι οποίοι στρέφονται με την ίδια φορά με ταχύτητα ω1 και ω2 αντίστοιχα και ροπές αδράνειας Ι1 και Ι2 αντίστοιχα. Αυτοί περιστρέφονται γύρω από τον άξονα συμμετρίας τους. Έπειτα οι δύο δίσκοι έρχονται σε επαφή και αποκτούν κοινή ταχύτητα ω (σχήμα 3). Εκφράστε την ω ως συνάρτηση των ω1, ω2, Ι1 και Ι2

σχήμα 3, οι δίσκοι στην αρχή περιστρέφονται ξέχωρα με γωνιακές ταχύτητες
ω1 και ω2 και έπειτα όταν έρθουν σε επαφή περιστρέφονται με κοινή γωνιακή
ταχύτητα ω.
Η λύση έχει ως εξής: Οι δίσκοι συνιστούν ένα απομονωμένο σύστημα. Όποτε η στροφορμή παραμένει σταθερή αφού δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές. Έτσι το μέτρο της αρχικής στροφορμής του συστήματος είναι
αφού οι δίσκοι στρέφονται με την ίδια φορά. Το μέτρο της τελικής στροφορμής του συστήματος είναι
Το μέτρο της αρχικής στροφορμής του συστήματος ισούται με το μέτρο της τελικής στροφορμής αφού η στροφορμή διατηρείται, άρα ισχύει ότι
και λύνοντας ως προς ω έχω την κοινή ταχύτητα των δίσκων
Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου