Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2014

Εύρεση της κυματικής εξίσωσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Για την περιγραφή ενός κύματος χρειαζόμαστε έννοια της κυματοσυνάρτησης. Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση που μας δίνει πληροφορία για την απόκλιση κάθε σημείου του μέσου από την θέση ισορροπίας του (στην περίπτωση μηχανικών κυμάτων) ή για τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου (στην περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) συναρτήσει του χώρου και του χρόνου. Η κυματοσυνάρτηση είναι λύση μίας διαφορικής εξίσωσης που ονομάζεται κυματική εξίσωση και είναι η ακόλουθη
όπου u η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και y η κυματοσυνάρτηση η οποία μεταδίδεται κατά μήκος του άξονα x την χρονική στιγμή t.

Για να αποδείξουμε ότι η κυματοσυνάρτηση στην περίπτωση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος έχει την παραπάνω μορφή θα θεωρήσουμε ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x (σχήμα 1).
σχήμα 1, στιγμιότυπο του κύματος την χρονική στιγμή t.
Για κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα x, το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι ομογενή και είναι συνάρτηση του x και του t. Επίσης, το ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο y συνιστώσα και το μαγνητικό πεδίο έχει μόνο z συνιστώσα. Θεωρούμε δύο επίπεδα στις θέσεις x και x+dx που φαίνονται στο σχήμα 1.

Για να αποδείξουμε την κυματική εξίσωση εφαρμόζουμε τον νόμο του Faraday στο μοβ ορθογώνιο (σχήμα 1 και 2).
σχήμα 2, με λεπτομέρεια το μοβ ορθογώνιο του σχήματος 1 
Αρχικά, υπολογίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του Ε στο ορθογώνιο με φορά αριστερόστροφη και έτσι παίρνουμε
Έπειτα βρίσκουμε την μεταβολή της μαγνητικής ροής. Θεωρούμε πως το μαγνητικό πεδίο στον χώρο μεταξύ των δύο επιπέδων είναι ομογενές. Έτσι έχουμε
Από τον νόμο του Faraday έχουμε
άρα
Η παραπάνω εξίσωση δείχνει πως αν η z συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου μεταβάλλεται χρονικά η y συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου θα μεταβάλλεται κατά x.

Έπειτα, εφαρμόζουμε τον νόμο του Ampere στο πράσινο ορθογώνιο (σχήμα 1 και 3).
σχήμα 3, με λεπτομέρεια το πράσινο ορθογώνιο του σχήματος 1
Αρχικά, υπολογίζουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του Β με φορά αριστερόστροφη στο ορθογώνιο
Υποθέτουμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των δύο επιπέδων είναι ομογενές οπότε υπολογίζουμε τη μεταβολή της ηλεκτρικής ροής ως εξής:
Ο νόμος του Ampere είναι ο εξής:
Το ρεύμα αγωγιμότητας I είναι μηδέν και συνδυάζοντας το νόμο του Ampere με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και την μεταβολή της ηλεκτρικής ροής προκύπτει η παρακάτω σχέση:

Παρατηρούμε ότι όταν η y συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλεται κατά t έχουμε μεταβολή της z συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου κατά x

Έπειτα, παίρνουμε τις μερικές παραγώγους των σχέσεων 1 και 2 ως προς x και συνδυάζοντας τις σχέσεις που προκύπτουν καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα: 
Έτσι η εξίσωση που προκύπτει έχει τη μορφή της κυματικής εξίσωσης που αναφέραμε παραπάνω και ικανοποιείται από τη y συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου. Άρα το ηλεκτρικό πεδίο συμπεριφέρεται σαν κύμα και διαδίδεται με ταχύτητα 
Επίσης, μπορούμε να δείξουμε ότι η z συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου ικανοποιεί την κυματική εξίσωση παίρνοντας τις μερικές παραγώγους των εξισώσεων 1 και 2 ως προς το t. Έπειτα, συνδυάζοντας τις σχέσεις που προκύπτουν έχουμε την παρακάτω εξίσωση:
Άρα το μαγνητικό πεδίο συμπεριφέρεται και αυτό σαν κύμα με την ταχύτητα u που αναφέραμε προηγουμένως.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου