Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2014

Οι λεπτοί φακοί στην γεωμετρική οπτική

Οι λεπτοί φακοί είναι διαδεδομένες οπτικές διατάξεις. Οι πιο απλοί λεπτοί φακοί αποτελούνται από δύο σφαιρικές διαθλαστικές επιφάνειες που είναι τόσο κοντά ώστε η απόσταση μεταξύ τους να θεωρείται αμελητέα.

Υπάρχουν δύο κατηγορίες λεπτών φακών, οι αποκλίνοντες και οι συγκλίνοντες. Για τους αποκλίνοντες φακούς ισχύει πως όταν μία δέσμη παράλληλων ακτίνων προσπίπτει στον φακό, η δέσμη αυτή αποκλίνει και έτσι σχηματίζεται φανταστικό είδωλο. Οι αποκλίνουσες ακτίνες φαίνεται να προέρχονται από το σημείο F2 (σχήμα 1). Ενώ αν μία δέσμη ακτίνων, που συγκλίνουν στο σημείο F1, προσπίπτει στον φακό, εξέρχεται από αυτόν ως δέσμη παράλληλων ακτίνων (σχήμα 2).
σχήμα 1, μία δέσμη παράλληλων ακτίνων προσπίπτει στον φακό και οι
διαθλώμενες ακτίνες φαίνεται να προέρχονται από το σημείο F2.
σχήμα 2, μία δέσμη ακτίνων που συγκλίνει στο σημείο F1 προσπίπτει στον φακό
και εξέρχεται ως δέσμη παράλληλων ακτίνων.
Για τους συγκλίνοντες φακούς ισχύει πως όταν μία δέσμη παράλληλων ακτίνων προσπίπτει στον φακό τότε οι ακτίνες συγκλίνουν στο σημείο F2 και σχηματίζεται πραγματικό είδωλο (σχήμα 3), ενώ αν η δέσμη ακτίνων ξεκινάει από το σημείο F1, μετά την πρόσπτωση της στον φακό εξέρχεται ως δέσμη παράλληλων ακτίνων (σχήμα 4).
σχήμα 3, μία δέσμη παράλληλων ακτίνων προσπίπτει στον φακό και όταν
εξέρχεται συγκλίνει στο σημείο F2.
σχήμα 4, μία δέσμη ακτίνων που προέρχεται από το σημείο F1 εξέρχεται από
τον φακό ως δέσμη παράλληλων ακτίνων.
Το σημείο F1 ονομάζεται πρώτο εστιακό σημείο και το σημείο F2 ονομάζεται δεύτερο εστιακό σημείο. Η απόσταση του F1 από το κέντρο του φακού είναι ίση με την απόσταση του F2 από το κέντρο του φακού και ονομάζεται εστιακή απόσταση f. Στην περίπτωση των συγκλινόντων φακών είναι θετική, ενώ για τους αποκλίνοντες φακούς είναι αρνητική. Επίσης, τα κέντρα καμπυλότητας των δύο διαθλαστικών επιφανειών του φακού ορίζουν έναν άξονα που ονομάζεται οπτικός άξονας.

Ας εξάγουμε τις βασικές εξισώσεις για φακούς. Θεωρούμε ένα αντικείμενο ΑΒ το οποίο μέσω ενός λεπτού φακού σχηματίζει ένα είδωλο Α'Β' (σχήμα 5). Επίσης, συμβολίζουμε την απόσταση του ΑΒ από τον φακό ως s, την απόσταση του Α'Β' από τον φακό ως s' και ως y και y' τα ύψη του ΑΒ και Α'Β' αντιστοίχως. Πρέπει να τονίζουμε πως στους φακούς χρησιμοποιούνται οι ίδιοι κανόνες προσήμου με τα κάτοπτρα.

σχήμα 5, η ακτίνα που είναι παράλληλη στον οπτικό άξονα όταν εξέρχεται από τον φακό διέρχεται από το σημείο F2, ενώ η ακτίνα που διέρχεται από το Ο δεν διαθλάται.

Στο σύστημα του σχήματος 5 η ακτίνα ΒΓ, που είναι παράλληλη με τον οπτικό άξονα, διαθλάται από τον φακό και έπειτα διέρχεται από το δεύτερο εστιακό σημείο του φακού. Όμως, η ακτίνα ΒΟΒ' καθώς περνάει από το κέντρο του φακού δεν διαθλάται ουσιαστικά όποτε συνεχίζει την ευθύγραμμη πορεία της. Έτσι, παρατηρούμε πως η γωνία ΑΟΒ είναι ίση με την Α'ΟΒ' οπότε ισχύει
Το μείον οφείλεται στο γεγονός ότι το είδωλο είναι αντεστραμμένο και y'<0 ενώ από τους κανόνες προσήμου προκύπτει πως s>0 και s'>0. Έπειτα παρατηρούμε ότι η γωνία ΓF2O είναι ίση με την γωνία A'F2B'. Άρα από το σχήμα προκύπτει ότι
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις συμπεραίνουμε ότι η σχέση μεταξύ των s, s' και f είναι η εξής
και η εγκάρσια μεγέθυνση του αντικειμένου είναι
Αν s και s' θετικά τότε το m είναι αρνητικό, δηλαδή το είδωλο είναι αντεστραμένο. Οι δύο παραπάνω σχέσεις είναι οι βασικές σχέσεις για φακούς.

Στο σχήμα 6 φαίνεται πως σχηματίζεται από τον φακό ένα τρισδιάστατο είδωλο ενός τρισδιάστατου αντικειμένου. Το είδωλο P'R' είναι ομοπαράλληλο προς το αντικείμενο του PR και τα είδωλα P'S' και P'Q' είναι αντεστραμμένα ως προς τα αντικείμενα τους PS και QS αντίστοιχα. Βλέπουμε πως το είδωλο που σχηματίζεται από τον φακό είναι αντεστραμμένο (αλλά όχι κατοπτρικά αντεστραμμένο). Τι σημαίνει όμως αυτό; Σημαίνει πως αν το αντικείμενο είναι ένα αριστερό χέρι, τότε και το είδωλο είναι ένα αριστερό χέρι. Μπορείτε να το επαληθεύσετε ως εξής: Κατευθύνετε τον αριστερό σας αντίχειρα κατά μήκος του βέλους PR, τον αριστερό σας δείκτη κατά μήκος του PQ και τον αριστερό σας μέσο κατά μήκος του PS. Έπειτα περιστρέψτε το χέρι σας χρησιμοποιώντας ως άξονα τον αντίχειρα σας. Τότε η νέα θέση του χεριού σας θα συμπέσει με το είδωλο του σχήματος 6 (ο αντίχειρα σας θα έχει την διεύθυνση του βέλους P'R', ο δείκτης σας την διεύθυνση του P'Q' και ο μέσος σας την διεύθυνση του P'S'). Δηλαδή, ο αντίστροφος προσανατολισμός του ειδώλου που σχηματίζει ο φακός είναι ισοδύναμος με στροφή του αντικειμένου κατά 180 μοίρες γύρω από τον οπτικό άξονα.

σχήμα 6, το τρισδιάστατο είδωλο ενός τρισδιάστατου αντικειμένου που σχηματίζεται από έναν φακό.

Έπειτα, θα εξάγουμε μία εξίσωση που συνδέει το δείκτη διάθλασης n του φακού, την ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης επιφάνειας του R1, την ακτίνα καμπυλότητας της δεύτερης επιφάνειας του R2 και την εστιακή απόσταση του f. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση των κατασκευαστών των φακών.

Αρχικά, θεωρούμε πως έχουμε τρία υλικά με δείκτες διάθλασης na, nb, nc (σχήμα 7) τα οποία διαχωρίζονται από δύο επιφάνειες. Θεωρούμε πως το αντικείμενο ΑΒ του σχήματος 7 μέσω της πρώτης διαθλαστικής επιφάνειας σχηματίζει ένα είδωλο Α'Β'. Έπειτα, αυτό το είδωλο Α'Β' παίζει τον ρόλο του αντικειμένου και μέσω της δεύτερης διαθλαστικής επιφάνειας σχηματίζει το τελικό είδωλο Α''Β''.

σχήμα 7, το αντικείμενο ΑΒ σχηματίζει μέσω της πρώτης επιφάνειας το είδωλο Α'Β'. Έπειτα το είδωλο Α'Β' παίζει τον ρόλο του αντικειμένου και μέσω της δεύτερης επιφάνειας σχηματίζει το είδωλο Α''Β''. Ο φακός έχει πάχος t.

Ως s1 και s'1 ορίζουμε τις αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου για την πρώτη διαθλαστική επιφάνεια και ως s2 και s'2 τις αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου για την δεύτερη διαθλαστική επιφάνεια. Ο φακός που σχηματίζεται από τις δύο επιφάνειες έχει πάχος t. Όμως επειδή το t είναι πολύ μικρό σε σχέση με τις απόλυτες τιμές των αποστάσεων αντικειμένου και ειδώλου, μπορούμε να το θεωρήσουμε μηδενικό. Έτσι, από το σχήμα 7 παρατηρούμε ότι οι αποστάσεις s'1 και s2 συνδέονται με την σχέση
επειδή το s'1 είναι θετικό (το είδωλο A'B' βρίσκεται προς την πλευρά εξόδου της πρώτης επιφάνειας) και το s2 αρνητικό (το Α'Β', που θεωρείται αντικείμενο πλέον, δεν βρίσκεται προς την πλευρά εισόδου της δεύτερης επιφάνειας).

Για την πρώτη διαθλαστική επιφάνεια ισχύει
Για την δεύτερη διαθλαστική επιφάνεια ισχύει
Θεωρούμε ότι na=nc=1 για το κενό και ότι ο φακός είναι αυτοτελής διάταξη οπότε συμβολίζουμε με s το s1 και με s' το s'2. Έτσι λαμβάνοντας τα παραπάνω υπόψιν και προσθέτοντας τις παραπάνω δύο εξισώσεις για τις διαθλαστικές επιφάνειες παίρνουμε την επόμενη εξίσωση

Όμως από την εξίσωση (1) προκύπτει
Έτσι αποδείξαμε την εξίσωση των κατασκευαστών των φακών.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου