Παρασκευή, 26 Σεπτεμβρίου 2014

Η έννοια της ειδικής ενέργειας στους ανοικτούς αγωγούς

Η ειδική ενέργεια σε μία διατομή ενός ανοικτού αγωγού αποτελεί το άθροισμα του φορτίου πίεσης και του κινητικού φορτίου στην διατομή. Είναι δηλαδή το ολικό φορτίο στην διατομή με επίπεδο αναφοράς τον πυθμένα της. Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω ο τύπος που δίνει την εδική ενέργεια είναι ο ακόλουθος

Για να μελετήσουμε την συνάρτηση E(y) αρκεί να κάνουμε την γραφική της παράσταση (σχήμα 1) όταν η παροχή είναι σταθερή.

σχήμα 1, η γραφική παράσταση της E(y)
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση E(y) έχει δύο ασύμπτωτες: την y=E και την y=0. Επίσης, παρατηρούμε ότι ελαχιστοποιείται για μία ορισμένη τιμή του βάθους ροής. Για να βρούμε σε ποια τιμή του βάθους ελαχιστοποιείται παίρνουμε την παράγωγο της συνάρτησης E(y) ως προς y και την θέτουμε ίση με το μηδέν. Άρα έχουμε:
και θέτοντας την σχέση αυτή ίση με μηδέν έχουμε ότι
Άρα, συμπεραίνουμε ότι για σταθερή παροχή η ειδική ενέργεια είναι ελάχιστη όταν έχουμε κρίσιμη ροή καθώς όταν ο αριθμός Froude είναι ίσος με την μονάδα η ροή είναι κρίσιμη. 'Ετσι, σε αυτή την περίπτωση, το βάθος ροής είναι το κρίσιμο βάθος, οπότε 
Έτσι, ένα χαρακτηριστικό του κρίσιμου βάθους είναι ότι ελαχιστοποιεί την ειδική ενέργεια της διατομής.

Ακόμη, για μία συγκεκριμένη τιμή ειδικής ενέργειας αντιστοιχούν δύο βάθη ροής, το y και το y' που είναι και τα δύο θετικές ρίζες της εξίσωσης
Η μία ρίζα y ονομάζεται υποκρίσμιμη και ισχύει y>yc και η y' ονομάζεται υπερκρίσιμη και ισχύει y<yc. Δηλαδή, για σταθερή παροχή και για σταθερή τιμή ειδικής ενέργειας η ροή είναι δυνατόν να πραγματοποιείται είτε με το υποκρίσιμο βάθος είτε με το υπερκρίσιμο. Αυτά τα δύο βάθη ονομάζονται εναλλακτικά.

Έπειτα, εξετάζουμε την σχέση παροχής και βάθους όταν η ειδική ενέργεια είναι σταθερή. Λύνοντας την σχέση, που εκφράζει την ειδική ενέργεια ως προς το y, το A και το Q, έχουμε
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής φαίνεται στο σχήμα 2.
σχήμα 2, η γραφική παράσταση της Q(y)
Παρατηρούμε ότι όταν Q=0 τότε y=0 ή E=0. Επίσης, φαίνεται πως η παροχή εμφανίζει ένα μέγιστο για μία ορισμένη τιμή βάθους. Για να βρούμε το μέγιστο αυτό σε ποιο βάθος εμφανίζεται, παραγωγίζουμε την συνάρτηση Q(y) ως προς y και θέτουμε την παράγωγο ίση με το μηδέν. Η παράγωγος της συνάρτησης είναι
και θέτοντας αυτή την παράσταση ίση με μηδέν έχουμε
Άρα για δεδομένη ειδική ενέργεια όταν έχουμε κρίσιμη ροή (δηλαδή το βάθος είναι κρίσιμο) η παροχή μεγιστοποιείται, δηλαδή
Έτσι, ένα ακόμη χαρακτηριστικό του κρίσιμου βάθους είναι ότι για δεδομένη τιμή ειδικής ενέργειας μεγιστοποιεί την παροχή.

Τέλος, οι ρίζες της εξίσωσης
αποτελούν τα δύο εναλλακτικά βάθη ροής, δηλαδή η μία ρίζα είναι υποκρίσιμη και η άλλη είναι υπερκρίσιμη.

Πηγή: Υδραυλική ανοικτών αγωγών, Α. Δαμασκηνίδου-Γεωργιάδου, Ε. Σιδηρόπουλος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου