Κυριακή, 28 Σεπτεμβρίου 2014

Η συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων

Οι μέθοδοι συνόρθωσης παρατηρήσεων είναι μέθοδοι ανάλυσης δεδομένων. Αυτές βασίζονται στις παρατηρήσεις ορισμένων μεγεθών, που ονομάζονται παρατηρούμενες παράμετροι, και στο μαθηματικό μοντέλο της συνόρθωσης, δηλαδή στην συσχέτιση των παρατηρούμενων παραμέτρων με ορισμένες άγνωστες παραμέτρους. Ο σκοπός μίας συνόρθωσης είναι η εκτίμηση των τιμών των αγνώστων παραμέτρων αλλά και η εύρεση της ακρίβειας της εκτίμησης. Εδώ θα αναλύσουμε την συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων.
Η συνόρθωση με την μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων είναι απλή καθώς απλή είναι η μορφή του μαθηματικού μοντέλου. Οι πραγματικές τιμές των παρατηρούμενων παραμέτρων συμβολίζονται με
και οι αντίστοιχες παρατηρήσεις είναι οι
όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρούμενων παραμέτρων. Οι άγνωστες παράμετροι του προβλήματος είναι οι
όπου m είναι ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων.

Το μαθηματικό μοντέλο, δηλαδή η σχέση των παρατηρούμενων παραμέτρων και των αγνώστων παραμέτρων, παριστάνεται από τις παρακάτω εξισώσεις:

Αν χρησιμοποιήσουμε πίνακες για να συμβολίσουμε τις παραπάνω ποσότητες παίρνουμε τους εξής πίνακες:

Ο πίνακας xa των αγνώστων παραμέτρων είναι ο
ο πίνακας ya των πραγματικών τιμών των παρατηρούμενων παραμέτρων είναι ο
ο πίνακας yb των παρατηρήσεων των παρατηρούμεων παραμέτρων είναι ο
Ακόμη οι πραγματικές τιμές των παρατηρήσεων συσχετίζονται με τις παρατηρήσεις με τον εξής τύπο
καθώς οι παρατηρήσεις συνοδεύονται από σφάλμα το οποίο δρα προσθετικά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου. Οπότε αν ως v συμβολίσουμε τον πίνακα των σφαλμάτων, δηλαδή
έχουμε ότι
Έτσι συνδιάζοντας την τελευταία σχέση με το με το μαθηματικό μοντέλο που σε μορφή πινάκων γράφεται
έχουμε την σχέση
H τελευταία σχέση παριστάνει τις εξισώσεις παρατηρήσεων.

Καθώς οι σχέσεις f είναι συνήθως μη γραμμικές κρίνεται απαραίτητη η γραμμικοποίηση του μαθηματικού μοντέλου. Έτσι αναπτύσουμε κάθε σχέση του μαθηματικού μοντέλου σε σειρά Taylor γύρω από κάποιες προσεγγιστικές τιμές
των αγνώστων παραμέτρων. Συνεπώς, η i σχέση του μαθηματικού μοντέλου γράφεται ως
και αν θεωρήσουμε ότι ισχύει

και ότι 
τότε λαμβάνοντας υπόψιν ότι
μπορούμε να γράψουμε την γραμμικοποιημένη σχέση i του μαθηματικού μοντέλου ως

Επίσης, αν θέσουμε
και

τότε το γραμμικοποιημένο μοντέλο γράφεται

Έτσι με μορφή πινάκων το γραμμικοποιημένο μοντέλο γράφεται
όπου ο πίνακας b ονομάζεται πίνακας ανηγμένων παρατηρήσεων και είναι ο
(παρακάτω θα εξηγήσουμε ποιος είναι ο πίνακας y0). O πίνακας A ονομάζεται πίνακας σχεδιασμού και είναι ο
και ο πίνακας Δx ονομάζεται πίνακας των διορθώσεων των προσεγγιστικών τιμών και είναι ο

Ο πίνακας y0 ισούται με

Ο πρώτος σκοπός την συνόρθωσης, όπως είπαμε, είναι η εκτίμηση των τιμών των αγνώστων παραμέτρων. Επειδή άγνωστες ποσότητες αποτελούν και οι άγνωστοι παράμετροι αλλά και τα σφάλματα των παρατηρήσεων ο αριθμός των συνολικών αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων, οπότε έχουμε απειρία λύσεων. Για να καταφύγουμε σε μία και μοναδική λύση χρησιμοποιούμε το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων. Αυτό το κριτήριο επιλέγει ως λύση στο πρόβλημα συνόρθωσης εκείνη που ελαχιστοποιεί το τετράγωνο των σφαλμάτων, δηλαδή επιλέγει τις κατάλληλες τιμές των αγνώστων παραμέτρων ώστε το τετράγωνο των σφαλμάτων να είναι το ελάχιστο δυνατό. Αν θελήσουμε να δώσουμε βαρύτητα σε ορισμένες παρατηρήσεις τότε χρησιμοποιούμε έναν πίνακα βάρους P, ο οποίος είναι συνήθως διαγώνιος, και το i διαγώνιο στοιχείο του αντιστοιχεί στο βάρος της i παρατήρησης. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων γράφεται ως εξής:
Για να ελαχιστοποιείται η παραπάνω σχέση πρέπει να ισχύει
και καθώς το φ είναι βαθμωτό μέγεθος και το x πίνακας, η παραπάνω σχέση ισοδυναμεί με τον μηδενισμό όλων των παραγώγων του φ ως προς τις άγνωστες παραμέτρους. Δηλαδή
Από τον μηδενισμό των παραπάνω παραγώγων παίρνουμε ορισμένες σχέσεις. Οι σχέσεις αυτές ονομάζονται κανονικές εξισώσεις και αποτελούν ένα σύστημα m εξισώσεων με m αγνώστους. Αυτό το σύστημα με μορφή πινάκων γράφεται ως
όπου 
και

Η λύση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων είναι η
και η εκτίμηση των τιμών των αγνώστων παραμέτρων είναι

Τέλος, ο δεύτερος σκοπός της συνόρθωσης είναι η εύρεση της ακρίβειας της εκτίμησης των αγνώστων παραμέτρων. Ο πίνακας μεταβλητοτήτων-συμμεταβλητοτήτων των αγνώστων, δηλαδή ο πίνακας που το i διαγώνιο στοιχείο του είναι η ακρίβεια της εκτίμησης της i άγνωστης παραμέτρου, είναι ο
Πηγή: Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων, Α. Δερμάνης, Α. Φωτίου

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου