Δευτέρα, 29 Σεπτεμβρίου 2014

Αυλοί και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Οι αυλοί είναι απλές διατάξεις που παράγουν ηχητικές συχνότητες εξαιτίας στάσιμων διαμήκων κυμάτων που δημιουργούνται στο εσωτερικό τους. Τα κύματα αυτά προκαλούν την ταλάντωση της στήλη του αέρα μέσα στον αυλό, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί με ορισμένους κανονικούς τρόπους. Κανονικό τρόπο ταλάντωσης ονομάζουμε την κίνηση στην οποία όλα τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται αρμονικά με την ίδια συχνότητα.

Υπάρχουν δύο είδη αυλών, οι κλειστοί και οι ανοικτοί. Και στις δύο κατηγορίες από τον φυσητήρα του αυλού παρέχεται αέρας ο οποίος κατευθύνεται προς το στόμιο του αυλού, θέτοντας σε ταλάντωση την στήλη του αέρα μέσα στον αυλό. Το στόμιο θεωρείται πάντα ως ανοικτό άκρο του αυλού. Το άλλο άκρο του αυλού στην περίπτωση του ανοικτού αυλού είναι ανοικτό (σχήμα 1) και στην περίπτωση του κλειστού αυλού είναι κλειστό (σχήμα 2). Ουσιαστικά ένας αυλός που είναι ανοικτός και στα δύο άκρα ονομάζεται ανοικτός, ενώ ένας αυλός που είναι ανοικτός στο ένα άκρο και κλειστός στο άλλο ονομάζεται κλειστός αυλός.

σχήμα 1, ανοικτός αυλός. Φαίνεται ο φυσητήρας, το στόμιο και το ανοικτό άκρο
του αυλού.

σχήμα 2, κλειστός αυλός. Φαίνεται ο φυσητήρας, το στόμιο και το κλειστό άκρο
του αυλού.

Μπορούμε να μελετήσουμε πρώτα τον ανοικτό αυλό. Από την στιγμή που και τα δύο άκρα είναι ανοικτά, η πίεση σε αυτά τα δύο σημεία είναι ίση με την ατμοσφαιρική οπότε και τα δύο άκρα είναι κόμβοι πίεσης (κοιλίες μετατόπισης). Άρα καθώς δημιουργείται στάσιμο κύμα στην στήλη αέρα μέσα στον αυλό και τα δύο άκρα είναι κοιλίες μετατόπισης, αυτά πρέπει να απέχουν απόσταση ημιακέραιου πολλαπλάσιου του μήκος κύματος λ του στάσιμου κύματος ώστε να έχουμε κανονικό τρόπο ταλάντωσης. Δηλαδή αν L είναι το μήκος του αυλού πρέπει να ισχύει
όπου k=1, 2, 3,... . Όμως για το μήκος κύματος ισχύει
όπου u η ταχύτητα των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα και fk η συχνότητα τους. Όποτε για να έχουμε κανονικό τρόπο ταλάντωσης πρέπει να ισχύει η παρακάτω σχέση
Η συχνότητα που αντιστοιχεί στην τιμή k=1 ονομάζεται θεμελιώδη συχνότητα (σχήμα 3), στην τιμή k=2 η δεύτερη αρμονική (σχήμα 4), στην τιμή k=3 η τρίτη αρμονική (σχήμα 5) κτλ.

σχήμα 3, στα ανοικτά άκρα έχουμε κοιλίες μετατόπισης και στο κέντρο κόμβο
μετατόπισης. Για k=1 η συχνότητα του στάσιμου κύματος αντιστοιχεί στην
θεμελιώδη συχνότητα.
σχήμα 4, Για k=2 η συχνότητα του κύματος αντιστοιχεί στην δεύτερη αρμονική.
Φαίνονται οι κοιλίες και οι κόμβοι μετατόπισης.

σχήμα 5, Για k=3 η συχνότητα του κύματος αντιστοιχεί στην τρίτη αρμονική.
Φαίνονται οι κοιλίες και οι κόμβοι μετατόπισης.
Έπειτα μπορούμε να μελετήσουμε τον κλειστό αυλό. Στην περίπτωση του κλειστού αυλού το κλειστό άκρο είναι κόμβος μετατόπισης καθώς τα υλικά σημεία της στήλης αέρα που βρίσκονται στο κλειστό άκρο του αυλού δεν μετατοπίζονται. Ακόμη, το ανοικτό άκρο είναι κόμβος πίεσης (κοιλία μετατόπισης) αφού σε αυτό η πίεση ισούται με την ατμοσφαιρική. Συνεπώς, για να έχουμε κανονικό τρόπο ταλάντωσης της στήλης του αέρα μέσα στον αυλό πρέπει για το μήκος του αυλού L (η απόσταση των δύο άκρων του)  πρέπει να ισχύει
με k=1, 3, 5,... . Όμως ισχύει ότι 
οπότε 
Έτσι για την θεμελιώδη συχνότητα έχουμε k=1 (σχήμα 6), για την τρίτη k=3 (σχήμα 7), για την πέμπτη k=5 (σχήμα 8) κτλ. Παρατηρούμε ότι απουσιάζουν όλες οι άρτιες αρμονικές στην περίπτωση του κλειστού αυλού.

σχήμα 6, στο κλειστό άκρο έχουμε κόμβο μετατόπισης και στο ανοικτό έχουμε
κοιλία μετατόπισης. Για k=1 η συχνότητα του στάσιμου κύματος αντιστοιχεί
στην θεμελιώδη συχνότητα.

σχήμα 7, Για k=3 η συχνότητα του κύματος αντιστοιχεί στην τρίτη αρμονική.
Φαίνονται οι κοιλίες και οι κόμβοι μετατόπισης.

σχήμα 8, Για k=5 η συχνότητα του κύματος αντιστοιχεί στην πέμπτη αρμονική.
Φαίνονται οι κοιλίες και οι κόμβοι μετατόπισης.
Τέλος, ας εξετάσουμε μία εφαρμογή. Έχουμε δύο αυλούς, έναν ανοικτό και έναν κλειστό. Για τον ανοικτό αυλό ισχύει ότι η θεμελιώδης συχνότητα του είναι 700 Hz. Επίσης, το μήκος κύματος είναι το ίδιο για την δεύτερη αρμονική του ανοικτού αυλού και για την πέμπτη αρμονική του κλειστού αυλού. Βρείτε το μήκος του κλειστού αυλού αν η ταχύτητα των διαμήκων κυμάτων που διαδίδονται στον αέρα είναι 346 m/s.

Η λύση έχει ως εξής: Το μήκος του ανοικτού αυλού είναι 
Επίσης, το μήκος κύματος για την δεύτερη αρμονική του ανοικτού αυλού είναι το ίδιο για την πέμπτη αρμονική του κλειστού αυλού. Άρα
Οπότε το μήκος του κλειστού αυλού είναι 0.309 m

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου