Τρίτη, 23 Σεπτεμβρίου 2014

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά

Η εξίσωση συνέχειας στα ρευστά είναι αποτέλεσμα της αρχής διατήρησης της μάζας. Εδώ θα αναλύσουμε το πως προκύπτει η εξίσωση συνέχειας μόνιμης ροής για ασυμπίεστο ή συμπιεσμένο ρευστό και η γενική εξίσωση συνέχειας σε τρισδιάστατη ροή (μόνιμη ή μη μόνιμη) ενός ασυμπίεστου ή συμπιεσμένου ρευστού.


Αρχικά, ξεκινάμε με την εξίσωση συνέχειας για μόνιμη ροή ενός συμπιεστού ρευστού. Θεωρούμε τη ροή του ρευστού σε έναν σωλήνα ροής και τις διατομές 1 και 2 (σχήμα 1).
σχήμα 1, φαίνονται οι διατομές 1 και 2. Μετά από χρόνο dt
ο όγκος του ρευστού που περικλύεται από τις διατομές 1 και 1'
και τις διατομές 2 και 2' είναι ίσος.
Μεταξύ των διατομών 1 και 1' περικλύεται ο όγκος ρευστού που περνάει από την διατομή 1 σε χρόνο dt. Ο όγκος αυτός είναι
όπου V1 η ταχύτητα του ρευστού στην διατομή 1 και Α1 το εμβαδόν της διατομής 1. Η αντίστοιχή μάζα που διέρχεται από την διατομή 1 σε χρόνο dt είναι
όπου ρ1 η πυκνότητα του ρευστού στην διατομή 1. Ομοίως, για την διατομή 2 ισχύει ότι η μάζα που διέρχεται από την διατομή σε χρόνο dt είναι
Η μάζα που διέρχεται από την διατομή 1 σε χρόνο dt είναι ίση με την μάζα που διέρχεται από την διατομή 2 στον ίδιο χρόνο λόγω της μόνιμης ροής (η μάζα ανάμεσα στις διατομές 1 και 2 είναι σταθερή). Έτσι εξισώνοντας τις δύο ποσότητες και διαιρώντας σε dt παίρνουμε
Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί την εξίσωση συνέχειας μόνιμης ροής για συμπιεσμένο ρευστό. Αν θέλουμε να μεταβούμε στην εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστο ρευστό θεωρούμε ότι
άρα ισχύει ότι
που είναι η εξίσωση συνέχειας για μόνιμη ροή ασυμπίεστου ρευστού.

Έπειτα, για να βρούμε την γενική εξίσωση συνέχειας ενός ρευστού σε τρισδιάστατη ροή (συμπιεστού ή ασυμπίεστου, μόνιμης ή μη μόνιμης ροής) θεωρούμε την τρισδιάστατη ροή ενός ρευστού σε μη μόνιμη ροή. Η x-συνιστώσα της ταχύτητας του ρευστού συμβολίζεται με u, η y-συνιστώσα με v και η z-συνιστώσα με w. Βασιζόμαστε στο γεγονός ότι η καθαρή εισροή στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του σχήματος 2 είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της μάζας μέσα στο παραλληλεπίπεδο.
σχήμα 2, φαίνεται η εισροή και εκροή κατά x
Στην διεύθυνση x μάζα του ρευστού εισέρχεται με ρυθμό

και εξέρχεται με ρυθμό
Η καθαρή εισροή στην διεύθυνση του x ισούται με 
Αν προσθέσουμε την καθαρή εισροή σε όλες τις διευθύνσεις έχουμε ότι η καθαρή εισροή στο παραλληλεπίπεδο του σχήματος είναι
Η καθαρή εισροή ισούται με το ρυθμό μεταβολής της μάζας ο οποίος γράφεται ως
Άρα ισχύει
Η τελευταία σχέση είναι η εξίσωση συνέχειας για τρισδιάστατη μη μόνιμη ροή σε συμπιεστό ρευστό.

Αν η ροή είναι μόνιμη η πυκνότητα είναι σταθερή συναρτήσει του χρόνου και η εξίσωση συνέχειας τρισδιάστατης μόνιμης ροής για συμπιεστό ρευστό είναι η εξής:
Τέλος, για ασυμπίεστο ρευστό και μόνιμη ροή η πυκνότητα είναι σταθερή και έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται
Πηγή: Schaum's Outline Series Μηχανική των ρευστών και υδραυλική, Ranald V. Giles

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου