Πέμπτη, 11 Σεπτεμβρίου 2014

Διαφορικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσης τους

Διαφορική εξίσωση είναι μία εξίσωση που συνδέει μία συνάρτηση και τις παραγώγους της. Είναι διαφορετική από τις από τις αλγεβρικές εξισώσεις στο γεγονός ότι προσπαθούμε να προσδιορίσουμε μία άγνωστη συνάρτηση και όχι αριθμό. Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα εργαλείο για τη δημιουργία μοντέλων φυσικών προβλημάτων, τα οποία απαιτούν την συσχέτιση του ρυθμού μεταβολής μίας συνάρτησης με την ίδια την συνάρτηση.


Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων. Μερικές από αυτές αναλύονται παρακάτω:
  • Ανάλογα με το πόσες μεταβλητές έχει το πρόβλημα μας: Αν η συνάρτηση που θέλουμε να προσδιορίσουμε είναι μίας μεταβλητής τότε η διαφορική εξίσωση ονομάζεται συνήθης διαφορική εξίσωση, ενώ αν η άγνωστη συνάρτηση είναι πολλών μεταβλητών τότε έχουμε μία μερική διαφορική εξίσωση.
  • Ανάλογα με την τάξη των παραγώγων που περιλαμβάνει: Αν περιλαμβάνει μόνο παραγώγους πρώτης τάξης έχουμε μία συνήθη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, ενώ αν έχουμε παραγώγους n τάξης τότε έχουμε διαφορική εξίσωση n τάξης.
Η επίλυση μίας διαφορικής εξίσωσης είναι ένα δύσκολο πρόβλημα που μερικές φορές δεν έχει αναλυτική επίλυση. Οι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης διακρίνονται σε συγκεκριμένες περιπτώσεις και ανάλογα σε ποια περίπτωση βρίσκονται έχουμε ανάλογη επίλυση. Αν δεν είναι δυνατή η εύρεση μίας αναλυτικής λύσης καταφεύγουμε σε μία αριθμητική μέθοδο. Θα εξετάσουμε την μέθοδο χωρισμένων μεταβλητών και την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Η μέθοδος χωρισμένων μεταβλητών εφαρμόζεται σε εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν στην μορφή
Για να επιλύσουμε αυτή την εξίσωση ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη. Δηλαδή έχουμε
όποτε αν με F συμβολίσουμε την αρχική συνάρτηση της f και με G συμβολίσουμε την αρχική συνάρτηση της g παίρνουμε
Αν είναι δυνατό τότε λύνουμε ως προς y ώστε να έχουμε μία συνάρτηση της μορφής y(x). Η σταθερά C υπολογίζεται από εξωτερική πληροφορία που ονομάζεται αρχική συνθήκη.

Η γενική μορφή των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης είναι η ακόλουθη:
Η λύση αυτής της μορφής διαφορικών εξισώσεων είναι:
Στην ειδική περίπτωση που οι συναρτήσεις a και b είναι σταθερές, δηλαδή a(x)=Α και b(x)=Β τότε η παραπάνω διαφορική εξίσωση ανάγεται σε διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με σταθερό συντελεστή και σταθερό όρο. Η εξίσωση παίρνει την εξής μορφή:
και η λύση της γίνεται:

όπου C είναι η σταθερά που υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη.

Πηγή: Εφαρμοσμένα μαθηματικά διοικητικών και οικονομικών επιστημών, Παναγιώτης Λορεντζιάδης και Κωνσταντίνος Μπουρλάκης

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου