Τρίτη, 9 Σεπτεμβρίου 2014

Περίθλαση Fraunhofer από μία σχισμή πεπερασμένου εύρους

Όταν φωτίσουμε μία σχισμή με πεπερασμένο εύρος και μεγάλο μήκος τότε η εικόνα που παρατηρείται όταν η διερχόμενη, από την σχισμή, δέσμη πέσει πάνω σε ένα πέτασμα είναι η εικόνα του σχήματος 1. Βλέπουμε ότι η εικόνα πάνω στο πέτασμα είναι ένα διαμόρφωμα που αποτελείται από λεπτές φωτεινές και σκοτεινές λωρίδες (κροσσούς). Η δέσμη του φωτός απλώνεται στην οριζόντια διεύθυνση. Το φαινόμενο αυτό λέγεται περίθλαση του φωτός, η οποία ουσιαστικά είναι η απόκλιση του φωτός από την ευθύγραμμη πορεία του όταν αυτό συναντήσει ένα εμπόδιο.

σχήμα 1, βλέπουμε το φως που διέρχεται από την σχισμή μικρού εύρους και μεγάλου
πλάτους και την εικόνα που διαμορφώνεται πάνω στο πέτασμα με τις σκοτεινές και φωτεινές
λωρίδες.

Όταν η σχισμή και το πέτασμα είναι απομακρυσμένα μεταξύ τους τότε οι ακτίνες που ξεκινάνε από την σχισμή και καταλήγουν στο πέτασμα είναι σχεδόν παράλληλες μεταξύ τους και το φαινόμενο αυτό αποτελεί την Fraunhofer περίθλαση, την οποία και θα εξετάσουμε εδώ. Στην αντίθετη περίπτωση που οι ακτίνες που προσπίπτουν στο πέτασμα δεν είναι παράλληλες έχουμε την Frensel περίθλαση.

σχήμα 2, από κάθε στοιχείο επιφάνειας της σχισμής
αναδύεται ένα δευτερογενές κύμα. Τα στοιχεία
επιφάνειας αυτά είναι ταινίες κάθετες στην σχισμή.


σχήμα 3, οι ακτίνες που ξεκινούν από τις ταινίες συμβάλουν σε ένα σημείο του πετάσματος P. Οι ακτίνες αυτές θεωρούνται παράλληλες γιατί η απόσταση του πετάσματος από την σχισμή είναι μεγάλη στην Fraunhofer περίθλαση.
Στο σχήμα 2 φαίνεται σε κάτοψη μία σχισμή πεπερασμένου εύρους α (εύρος είναι η μικρή διάσταση της σχισμής). Βάση της αρχής του Huygens κάθε στοιχείο επιφάνειας της σχισμής μπορεί να θεωρηθεί ως πηγή δευτερογενών κυμάτων. Συγκεκριμένα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σχισμή αποτελείται από άπειρες πολύ λεπτές ταινίες ίσου πλάτους, κάθετες στην σχισμή του σχήματος 2 που παίζουν τον ρόλο των στοιχείων επιφάνειας. Από κάθε ταινία, λοιπόν, πηγάζουν κύματα τα οποία συμβάλουν πάνω στο πέτασμα (σχήμα 3) με αποτέλεσμα να δημιουργούνται φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί.

σχήμα 4, φαίνεται η ταινία που βρίσκεται ακριβώς κάτω από την άνω ακμή της σχισμής, η ταινία στη μέση της σχισμής καθώς και οι ακτίνες που προέρχονται από αυτές. Οι ακτίνες συμβάλουν στο σημείο P και θεωρούνται παράλληλες στην περίπτωση που η απόσταση της σχισμής από το πέτασμα είναι πολύ μεγάλη.

σχήμα 5, μεγέθυνση της άνω περιοχής της σχισμής του σχήματος 4. 
Ποια είναι η συνθήκη για την εμφάνιση σκοτεινού κροσσού στο διαμόρφωμα περίθλασης; Έστω δύο ταινίες από τις οποίες η μία βρίσκεται μόλις κάτω από την άνω ακμή της σχισμής και η άλλη στο μέσον της σχισμής (σχήματα 4 και 5). Έτσι η απόσταση τους είναι α/2 (α είναι το εύρος της σχισμής). Η διαφορά δρόμου μέχρι το σημείο συμβολής P που διανύουν τα δύο κύματα που προέρχονται από τις ταινίες αυτές είναι ίση με (α/2)sinθ (θ είναι η γωνία μεταξύ της καθέτου στην σχισμή και της ευθείας από το κέντρο της σχισμής στο P) από γεωμετρία (σχήμα 5). Στην περίπτωση που η διαφορά δρόμου ισούται με λ/2, όπου λ είναι το μήκος κύματος του φωτός, τα δύο κύματα στο σημείο P βρίσκονται εκτός φάσης οπότε συμβάλουν αναιρετικά. Όμως τότε, θα έχουμε αναιρετική συμβολή και για τα κύματα που προέρχονται από δύο ταινίες που βρίσκονται αμέσως κάτω από τις ταινίες του σχήματος 5 καθώς και αυτά φτάνουν στο σημείο P εκτός φάσης. Γενικεύοντας την παραπάνω λογική, ένα κύμα από μία οποιαδήποτε ταινία στο άνω ήμισυ της σχισμής αναιρείται από ένα κύμα μίας αντίστοιχης ταινίας στο κάτω ήμισυ της σχισμής (δηλαδή όλα τα κύματα που φτάνουν στο σημείο P ανά δύο αναιρούνται) με αποτέλεσμα να έχουμε ολική αναίρεση στο σημείο P. Οπότε στο σημείο P έχουμε σκοτεινό κροσσό για τον οποίο ισχύει:

Αν θεωρήσουμε τώρα ότι όλες οι ταινίες της σχισμής, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α/4 δρουν αναιρετικά, τότε ομοίως ισχύει:

Οπότε η συνθήκη για να έχω σκοτεινό κροσσό είναι:

Για διαφορετική τιμή του m παίρνω διαφορετική τιμή του θ που αντιστοιχεί σε διαφορετικό σκοτεινό κροσσό. Ενδιάμεσα τους εμφανίζονται φωτεινοί κροσσοί.

Συνήθως η γωνία θ είναι μικρή οπότε ισχύει η προσέγγιση

 και έτσι έχουμε

Αν η απόσταση σχισμής πετάσματος είναι L και η απόσταση του m-οστού σκοτεινού κροσσού από το κέντρο του διαμορφώματος είναι ym τότε ισχύει

η οποία σχέση με την προσέγγιση των μικρών γωνιών και χρησιμοποιώντας την σχέση (1) γίνεται:

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου