Παρασκευή, 12 Σεπτεμβρίου 2014

Εφαρμογές του νόμου του Gauss

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι μία περιοχή του χώρου όπου όταν βρεθούν φορτισμένα σωματίδια δέχονται ηλεκτρικές δυνάμεις. Πηγή του ηλεκτρικού πεδίου είναι οι κατανομές ηλεκτρικών φορτίων. Συνεπώς υπάρχει μία σχέση μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και των ηλεκτρικών φορτίων. Η σχέση αυτή διατυπώνεται από τον νόμο του Gauss και τον νόμο του Coulomb. Και οι δύο νόμοι είναι εναλλακτικές μορφές της σχέσης μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου σε μία περιοχή του χώρου και του φορτίου που δημιουργεί αυτό το ηλεκτρικό πεδίο.

Ο νόμος του Gauss αναφέρει ότι η ολική ηλεκτρική ροή ΦΕ που διέρχεται μέσα από κάποια κλειστή επιφάνεια (γκαουσιανή επιφάνεια) είναι ανάλογη με το ολικό φορτίο Qencl που περικλείει η επιφάνεια. Δηλαδή
όπου ε0 η επιτρεπτότητα του κενού

σχήμα 1, φαίνεται το σημειακό φορτίο (εδώ φαίνεται σαν σφαίρα)
και οι δυναμικές γραμμές που προκαλούνται από το φορτίο. Επίσης,
σε ένα σημείο φαίνονται τα διανύσματα dA και της έντασης του
ηλεκτρικού πεδίου Ε.

Χωρίζοντας την γκαουσιανή επιφάνεια σε απειροστά τμήματα dA, η ηλεκτρική ροή που διαπερνά μία κλειστή επιφάνεια δίνεται από την σχέση
Τότε ο νόμος του Gauss γράφεται ως εξής

Τώρα θα αναλύσουμε την περίπτωση που έχουμε μία γραμμική κατανομή φορτίου. Έχουμε μία ράβδο άπειρου μήκους (σχήμα 2) και το φορτίο ανά μονάδα μήκους της είναι λ. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.

σχήμα 2, η γκαουσιανή επιφάνεια είναι ένας κύλινδρος γύρω από το σύρμα
μεγάλου μήκους.
Αρχικά πρέπει να γνωρίσουμε πως για να έχουμε αποτέλεσμα με τον νόμο του Gauss πρέπει το πρόβλημα να έχει ιδιότητες συμμετρίας ώστε να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ροής. Εκεί βασίζεται η επιλογή της γκαουσιανής επιφάνειας. Για το συγκεκριμένο πρόβλημα θα χρησιμοποιήσουμε ως γκαουσιανή επιφάνεια έναν κύλινδρο ακτίνας r και μήκους x που περικλείει το σύρμα. Το παραπάνω φαίνεται στο σχήμα 2.

Γιατί όμως ο κύλινδρος είναι η κατάλληλη επιλογή γκαουσιανής επιφάνειας; Το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύνεται ακτινωτά, (καθώς δεν υπάρχει λόγος να κατευθύνεται προς κάποια άλλη διεύθυνση) χωρίς να υπάρχει παράλληλη συνιστώσα στο σύρμα και είναι κάθετο στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου. Επίσης το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλληλο στις βάσεις του κυλίνδρου.

Τα παραπάνω γεγονότα θα τα εκμεταλλευτούμε ώστε να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την ηλεκτρική ροή και έπειτα να την εξισώσουμε με το Qencl0. Αφού το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου (δηλαδή παράλληλο στο διάνυσμα dA σε κάθε σημείο της) τότε η ηλεκτρική ροή που διαπερνά την παράπλευρη επιφάνεια ισούται με
Έπειτα, η ηλεκτρική  ροή που διαπερνά τις βάσεις του κυλίνδρου είναι μηδέν αφού το πεδίο είναι παράλληλο στις βάσεις (δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο διάνυσμα dA σε κάθε σημείο των βάσεων). Άρα η συνολική ηλεκτρική ροή ισούται με
Το ολικό φορτίο που περιέχεται στην επιφάνεια είναι
Άρα έχουμε
Άρα καταφέραμε κάνοντας χρήση του νόμου του Gauss να υπολογίσουμε το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου σε ακτίνα r από το σύρμα.

Μία ακόμη εφαρμογή είναι η περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από επίπεδη πλάκα μεγάλων διαστάσεων με φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας σ.

σχήμα 3, φαίνεται η γκαουσιανή επιφάνειας είναι ένας κύλινδρος με άξονα
κάθετο στην επίπεδη πλάκα.
Για να επιλύσουμε αυτό το πρόβλημα καταρχήν επιλέγουμε την γκαουσιανή επιφάνεια με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργήσουμε συμμετρία στο πρόβλημα και να καταφέρουμε να απλοποιήσουμε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει την ηλεκτρική ροή. Έτσι θα επιλέξουμε την γκαουσιανή επιφάνεια ως ένα κύλινδρο που είναι κάθετος στην πλάκα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.

Το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στην πλάκα και δεν έχει συνιστώσα παράλληλα με αυτήν. Η ένταση του δεν εξαρτάται από την απόσταση του σημείου που υπολογίζουμε το πεδίο με την πλάκα. Άρα η ηλεκτρική ροή που διέρχεται μέσα και από τις δύο βάσεις εμβαδού Α είναι 2ΕΑ αφού το πεδίο είναι παράλληλο με τα στοιχειώδη διανύσματα επιφάνειας dA σε κάθε σημείο των βάσεων. Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται μέσα από την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου είναι μηδέν καθώς τα διανύσματα της έντασης του πεδίου και των στοιχειδών επιφανειών dA σε κάθε σημείο της παράπλευρης επιφάνειας είναι κάθετα μεταξύ τους. Οπότε η συνολική ηλεκτρική ροή είναι
και το Qencl ισούται με
Άρα από τον νόμο του Gauss έχουμε
Άρα αυτό είναι το μέτρο της έντασης σε οποιαδήποτε απόσταση από την πλάκα.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου