Τετάρτη, 1 Οκτωβρίου 2014

Δυνάμεις από ρευστά σε στερεά σώματα

Πολλές φορές σε προβλήματα υδραυλικής θέλουμε να υπολογίσουμε την δύναμη που ασκείται, εξαιτίας της κίνησης ενός ρευστού, σε ένα στερεό σώμα. Για να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που αναφέρει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ίσος με την συνιστώσα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σώμα, δηλαδή

Η μεθοδολογία που ακολουθείται είναι να εφαρμόζουμε τον παραπάνω νόμο σε τμήμα της μάζας του ρευστού και να υπολογίζουμε την δύναμη που ασκεί το στερεό σώμα στο ρευστό. Έπειτα, με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα βρίσκουμε την δύναμη που ασκεί το ρευστό στο στερεό σώμα καθώς είναι η αντίδραση της δύναμης που υπολογίστηκε από τον παραπάνω τύπο. Έτσι έχει αντίθετη κατεύθυνση αλλά ίδιο μέτρο.

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές για να δούμε πιο συγκεκριμένα πως γίνεται ο υπολογισμός αυτής της δύναμης. Η πρώτη εφαρμογή αποτελεί τον υπολογισμό της δύναμης που ασκείται από έναν πίδακα νερού σε μία επίπεδη ακίνητη πλάκα. Η δεύτερη είναι ο υπολογισμός του μέτρου και της διεύθυνσης της δύναμης που ασκεί ρευστό σε καμπύλο τμήμα αγωγού.

Ξεκινάμε με την πρώτη εφαρμογή. Έχουμε έναν πίδακα νερού διαμέτρου Α=60 mm που έχει ταχύτητα u=6 m/s και πέφτει πάνω σε μία επίπεδη ακίνητη πλάκα (σχήμα 1). Η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1000 kg/m3.

σχήμα 1, ο πίδακας νερού πέφτει πάνω στην επίπεδη πλάκα.
Φαίνεται το στοιχειώδες τμήμα ρευστού (νερού) dm στο οποίο
εφαρμόζεται ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα.
Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε ένα στοιχειώδες τμήμα του ρευστού (πράσινο ορθογώνιο). Η δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι η F δηλαδή η δύναμη που ασκεί η πλάκα στο στοιχειώδες τμήμα του ρευστού και ασκείται μόνο κατά την διεύθυνση του άξονα x. Επίσης και η ορμή του ρευστού έχει μόνο x συνιστώσα. Οπότε, θεωρώντας προς τα δεξιά την θετική φορά, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γίνεται
όπου Q η παροχή του πίδακα, uin η αρχική ταχύτητα της στοιχειώδους μάζας του ρευστού και ufin η τελική ταχύτητα. Όμως θεωρούμε πως όταν το ρευστό προσκρούει στην πλάκα η ταχύτητα του μηδενίζεται, άρα
και για την παροχή ισχύει
Συνεπώς για την δύναμη F έχουμε
Κάνοντας αντικατάσταση τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών έχουμε
Από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα συνεπάγεται πως η δύναμη που ασκεί το ρευστό στην πλάκα έχει φορά προς τα δεξιά και έχει μέτρο 101.8Ν

Τέλος, ας εξετάσουμε την δεύτερη εφαρμογή. Έχουμε ένα καμπύλο τμήμα αγωγού και μας ενδιαφέρει η δύναμη (μέτρο και διεύθυνση) που ασκεί το ρευστό στον αγωγό (σχήμα 2).

σχήμα 2, φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στην μάζα ρευστού που περικλείεται
από την πράσινη γραμμή.
Δεδομένα είναι το εμβαδόν Α1 της διατομής 1, η ταχύτητα u1 και η πίεση p1 στην διατομή 1, το εμβαδόν Α2 της διατομής 2, η ταχύτητα u2 και η πίεση p2 στην διατομή 2, η γωνία θ και η πυκνότητα ρ του ρευστού. Συναρτήσει των παραπάνω ποσοτήτων θέλουμε να εκφράσουμε την δύναμη που ασκεί το ρευστό στον αγωγό.

Ξεκινάμε εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση του x. Έτσι, θεωρώντας θετική φορά προς τα δεξιά και ότι οι δυνάμεις έχουν την φορά του σχήματος 2, έχουμε

Όμως στην πρώτη εφαρμογή αποδείξαμε πως
Συνεπώς
Επίσης για την διεύθυνση του x έχουμε
και
Άρα λύνοντας ως προς Fx ισχύει
καθώς
και

Έπειτα, εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση του y. Έτσι, σύμφωνα με το σχήμα 2 και θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω, έχουμε
Για την διεύθυνση του y ισχύει
και
Συνεπώς

Υπολογίσαμε, λοιπόν, τις x και y συνιστώσες της δύναμης Ftot που ασκεί ο αγωγός στο ρευστό. Το μέτρο της δύναμης αυτής είναι
και η γωνία a που δίνει την διεύθυνση της είναι
Η δύναμη που ασκεί το ρευστό στον αγωγό έχει μέτρο Ftot και φορά αντίθετη αυτής που φαίνεται στο σχήμα 2.

Πηγή: Εφαρμοσμένη Υδραυλική, Π. Τολίκας, Χ. Φωτιάδης

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου