Σάββατο, 11 Οκτωβρίου 2014

Ημιτονοειδές κύμα και εγκάρσια ταχύτητα των σωματιδίων του μέσου

Έχουμε ένα ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα που έχει πλάτος 0.1 m και μήκος κύματος 1.5 m. Αυτό διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά με ταχύτητα 150 m/s. Το αριστερό άκρο της χορδής, πάνω στην οποία διαδίδεται το κύμα, την χρονική στιγμή t=0 s κινείται προς τα κάτω. Βρείτε α) την συχνότητα, την κυκλική συχνότητα και τον κυματαριθμό του κύματος β) την κυματοσυνάρτηση του κύματος γ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=0 m δ) την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=1.2 m ε) την μέγιστη (αλγεβρικά) εγκάρσια ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της χορδής ζ) την εγκάρσια μετατόπιση και την εγκάρσια ταχύτητα του σωματιδίου με x=1.2 m όταν t=0.025 s.


Η λύση είναι η εξής:

α) Ξεκινώντας, ο τύπος που δίνει την συχνότητα του κύματος είναι ο
έπειτα η σχέση για την κυκλική συχνότητα μας δίνει
και για να βρούμε τον κυματαριθμό εφαρμόζουμε την σχέση
β) Επειδή είναι ημιτονοειδές το κύμα και επειδή διαδίδεται προς τα δεξιά η γενική σχέση της κυματοσυνάρτησης είναι
Επίσης, την χρονική στιγμή t=0 το αριστερό άκρο της χορδής κινείται προς τα κάτω οπότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το κύμα έχει αρχική φάση φ=π rad. Έτσι κάνοντας αντικατάσταση τις αριθμητικές τιμές έχουμε

γ) Για να βρούμε την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου με x=0 m κάνουμε αντικατάσταση στην εξίσωση της κυματοσυνάρτησης το x=0 m οπότε προκύπτει η εξίσωση
δ) Ομοίως στην κυματοσυνάρτηση κάνουμε αντικατάσταση το x=1.2 m οπότε έχουμε
ε) Πρέπει να εξάγουμε μία σχέση για την εγκάρσια ταχύτητα των σημείων του μέσου. Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να παραγωγίσουμε την κυματοσυνάρτηση ως προς τον χρόνο καθώς ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους αποτελεί την εγκάρσια ταχύτητα τους. Οπότε έχουμε
Άρα ξαναγράφοντας την συνάρτηση των εγκάρσιων ταχυτήτων έχουμε
Η μέγιστη (αλγεβρικά) τιμή της εγκάρσιας ταχύτητας παρουσιάζεται για τα σημεία και τις χρονικές στιγμές που ισχύει
Οπότε κάνοντας αντικατάσταση την παραπάνω σχέση στην συνάρτηση που μας δίνει τις εγκάρσιες ταχύτητες, η μέγιστη ταχύτητα είναι η
ζ) Για να βρούμε την εγκάρσια μετατόπιση του σημείου με x=1.2 m όταν t=0.025 s παίρνουμε την εξίσωση κίνησης του (δ ερώτημα) και κάνουμε αντικατάσταση το t=0.025 s. Άρα έχουμε

Τέλος, για τον υπολογισμό της ταχύτητας του σωματιδίου με x=1.2 m την χρονική στιγμή t=0.025 s παίρνουμε την συνάρτηση που μας δίνει τις εγκάρσιες ταχύτητες και κάνουμε αντικατάσταση το x=1.2 m και t=0.025 s. Οπότε έχουμε

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική, Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου