Παρασκευή, 17 Οκτωβρίου 2014

Βαρυτική δυναμική ενέργεια και η αρχή διατήρησης της ενέργειας

Έστω ότι έχουμε ένα σώμα που το αφήνουμε να πέσει από ένα ορισμένο ύψος χωρίς αρχική ταχύτητα. Στο τέλος της πτώσης του το σώμα έχει αποκτήσει κινητική ενέργεια καθώς έχει ορισμένη ταχύτητα. Αυτή η κινητική ενέργεια, όμως, δεν παράχθηκε από το πουθενά αλλά προήρθε από μία άλλη μορφή ενέργειας που σχετίζεται με το ύψους που είχε όταν άρχισε η πτώση του. Την ενέργεια που οφείλεται στο ύψος αυτό την ονομάζουμε δυναμική ενέργεια.

Η δυναμική ενέργεια που έχει ένα σώμα είναι η ενέργεια που συνδέεται με την θέση του σώματος και οι δυνάμεις που σχετίζονται με αυτού του είδους την ενέργεια ονομάζονται διατηρητικές δυνάμεις. Θα προσπαθήσουμε, αρχικά, να βρούμε την συνάρτηση δυναμικής ενέργειας U που δίνει την δυναμική ενέργεια συναρτήσει του ύψους y όταν το σώμα κινείται μέσα σε ένα ομογενές πεδίο βαρύτητας.

σχήμα 1, το σώμα μάζας m αφήνεται να πέσει από ύψος y1 και καταλήγει σε 
μικρότερο ύψος y2. Το βαρυτικό έργο είναι θετικό και η δυναμική ενέργεια
μειώνεται.

Στο σχήμα 1 αφήνουμε μία σφαίρα μάζας m να πέσει από ορισμένο ύψος y1 χωρίς αρχική ταχύτητα. Το βάρος είναι διατηρητική δύναμη, οπότε το έργο που παράγει το βάρος κατά την πτώση της σφαίρας από το σημείο 1 στο 2 μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας με τον τύπο
όπου U1 η δυναμική ενέργεια στην θέση 1 και U2 η δυναμική ενέργεια στην θέση 2. Έπειτα, γνωρίζοντας ότι το σώμα διανύει απόσταση
από την θέση 1 στην θέση 2, βρίσκουμε το έργο του βάρους συναρτήσει των υψών y1 και y2. Ισχύει
Οπότε από την παραπάνω σχέση και την σχέση (1) μπορούμε να συμπεράνουμε πως
Άρα μπορούμε να επιλέξουμε ως συνάρτηση δυναμικής ενέργειας την συνάρτηση
Επιλέγοντας την παραπάνω συνάρτηση ως συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας θεωρούμε πως η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται όταν το ύψος είναι μηδέν (y=0).

Όταν το σώμα κινείται από ύψος y1 σε ύψος y2, όπου y1>y2 (σχήμα 1) τότε το βαρυτικό έργο είναι θετικό και από την σχέση (1) έχουμε ότι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας είναι αρνητική (η δυναμική ενέργεια μειώνεται). Ενώ αν y1<y2 (σχήμα 2) τότε το βαρυτικό έργο είναι αρνητικό και από την σχέση (1) έχουμε ότι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας είναι θετική (η δυναμική ενέργεια αυξάνεται).

σχήμα 2,  το σώμα μάζας m βάλλεται προς τα πάνω με ταχύτητα u1 και κινείται
από ένα σημείο με υψόμετρο y1 σε ένα σημείο με μεγαλύτερο υψόμετρο y2.
Το βαρυτικό έργο είναι αρνητικό και η δυναμική ενέργεια αυξάνεται.
Έπειτα, ας εξετάσουμε μερικές μορφές της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Αν η μοναδική δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι το βάρος τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου ενέργειας παίρνουμε
όπου Κ1 η κινητική ενέργεια στην θέση 1 και Κ2 η κινητική ενέργεια στην θέση 2. Συνδυάζοντας την σχέση αυτή με την σχέση (1) προκύπτει
Το άθροισμα της δυναμικής και κινητικής ενέργειας σε ένα σημείο το ονομάζουμε μηχανική ενέργεια. Η παραπάνω σχέση μας δηλώνει ότι όταν ένα σώμα κινείται από την θέση 1 στην θέση 2 τότε η μηχανική ενέργεια του διατηρείται. Δηλαδή αν το σώμα μετακινηθεί από την θέση 1 στην 2 και μειωθεί η κινητική ενέργεια του τότε θα αυξηθεί η δυναμική ενέργεια του, ενώ αν μειωθεί η δυναμική ενέργεια του τότε θα αυξηθεί η κινητική ενέργεια του. Όμως το πόρισμα αυτό ισχύει στην περίπτωση που ασκείται μόνο το βάρος στο σώμα και καμία άλλη δύναμη.

Αν ασκείται και κάποια άλλη δύναμη Fother (σχήμα 3) το θεώρημα έργου ενέργειας παίρνει την μορφή

σχήμα 3, στο σώμα μάζας m εκτός του βάρους ασκείται και μία άλλη δύναμη
Fother.
Όμως από την παραπάνω σχέση και την σχέση (1) έχουμε
Από την σχέση που προκύπτει καταλαβαίνουμε πως όταν στο σώμα ασκείται μία εξωτερική δύναμη η διαφορά μεταξύ της μηχανικής ενέργειας μεταξύ δύο σημείων 1 και 2 ισούται με το έργο της εξωτερικής δύναμης μεταξύ των σημείων 1 και 2. Έτσι σε αυτή την περίπτωση η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται. Όταν το Wother είναι αρνητικό τότε η μηχανική ενέργεια του σώματος μειώνεται, ενώ όταν είναι θετικό η μηχανική ενέργεια του σώματος αυξάνεται.

Τέλος, θα δούμε δύο αντιπροσωπευτικές εφαρμογές. Στην πρώτη εφαρμογή η σφαίρα του σχήματος 2 με μάζα m βάλλεται προς τα πάνω με ταχύτητα 15 m/s από σημείο με υψόμετρο y1=5 m. Το ζητούμενο είναι το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η σφαίρα. Η λύση είναι η εξής:

Το μέγιστο ύψος της η σφαίρα θα το αποκτήσει όταν μηδενιστεί η ταχύτητα της. Αφού στην σφαίρα ασκείται μόνο το βάρος της η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Θεωρώντας ως σημείο 1 το σημείο που η σφαίρα έχει ταχύτητα u1=15 m/s και υψόμετρο y1=5 m και ως σημείο 2 το σημείο που έχει ταχύτητα u2=0 m/s και υψόμετρο y2, δηλαδή το σημείο που η σφαίρα έχει φτάσει το μέγιστο ύψος, ισχύει η σχέση
Για την δυναμική και κινητική ενέργεια ισχύουν οι σχέσεις
Οπότε έχουμε
Κάνοντας αριθμητικές αντικαταστάσεις έχουμε
Συνεπώς το μέγιστο ύψος που φτάνει η σφαίρα είναι 16.5 m.

Η δεύτερη εφαρμογή έχει ως εξής: Έστω ότι η σφαίρα του σχήματος 3 μάζας m=0.20 kg βρίσκεται στην θέση 1 με υψόμετρο y1 και ταχύτητα u1=0 m/s. Στην σφαίρα αυτή ασκείται μία σταθερή δύναμη για διάστημα S=3 m και έπειτα φτάνει στην θέση 2 με υψόμετρο y2 και ταχύτητα u2=15 m/s. Να υπολογισθεί το μέτρο της εξωτερικής δύναμης που ασκήθηκε στην σφαίρα. Η λύση έχει ως εξής:

Αφού στην σφαίρα ασκείται εξωτερική δύναμη εκτός του βάρους η μηχανική ενέργεια της δεν διατηρείται και ισχύει ο τύπος

Κάνοντας αντικαταστάσεις προκύπτει ότι
όμως από την γεωμετρία του προβλήματος
συνεπώς
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές προκύπτει ότι
Άρα το μέτρο της εξωτερικής δύναμης είναι 9.5 Ν

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου