Σάββατο, 18 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές πάνω στην κίνηση βλήματος

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με την κίνηση βλήματος. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε δύο σφαίρες (σχήμα 1). Η κόκκινη σφαίρα βάλλεται προς την πράσινη σφαίρα την στιγμή που η πράσινη σφαίρα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Δείξτε πως οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν ανεξαρτήτως της αρχικής ταχύτητας u0 της κόκκινης σφαίρας. Η απόδειξη είναι η εξής:


σχήμα 1, η κόκκινη σφαίρα βάλλεται προς την πράσινη σφαίρα την χρονική
στιγμή που ξεκινάει η πτώση της πράσινης σφαίρας. Αυτό συνεπάγεται πως
αν η κόκκινη σφαίρα εκείνη την στιγμή βρίσκεται στην αρχή των αξόνων οι
συντεταγμένες της πράσινης σφαίρας την ίδια χρονική στιγμή θα είναι
(d, dtan(a0)) όπου d η οριζόντια απόσταση μεταξύ των σφαιρών.
Ας αναλύσουμε λίγο το πρόβλημα. Για να αποδείξουμε ότι οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που οι δύο σφαίρες έχουν τις ίδιες συντεταγμένες. Επίσης, την στιγμή που βάλλεται η κόκκινη σφαίρα προς την πράσινη, η πράσινη σφαίρα ξεκινάει να εκτελεί ελεύθερη πτώση. Αυτό σημαίνει πως αν αυτή την χρονική στιγμή η κόκκινη σφαίρα βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, η πράσινη σφαίρα εκείνη την χρονική στιγμή έχει συντεταγμένες
όπου d η αρχική οριζόντια απόσταση τους και a0 η διεύθυνση της ταχύτητας u0.

Η τετμημένη της πράσινης σφαίρας είναι πάντα d αφού εκτελεί ελεύθερη πτώση και η τετμημένη της κόκκινης σφαίρας την χρονική στιγμή t είναι
Έστω t0 η χρονική στιγμή που έχουν τα ίδια x οι δύο σφαίρες. Εξισώνοντας τις τετμημένες των δύο σφαιρών προκύπτει η εξίσωση
Το οποίο συνεπάγεται ότι
Ακόμη, η συνάρτηση που δίνει την τεταγμένη της κόκκινης σφαίρας είναι
και η συνάρτηση που δίνει την τεταγμένη της πράσινης σφαίρας είναι
αφού η αρχική τεταγμένη y0 της σφαίρας είναι
Έστω t1 η χρονική στιγμή που οι δύο σφαίρες έχουν τα ίδια y. Τότε ισχύει
Παρατηρούμε πως 
Οπότε υπάρχει μία χρονική στιγμή που οι δύο σφαίρες έχουν τις ίδιες συντεταγμένες συνεπώς θα συγκρουστούν ανεξαρτήτως της αρχικής ταχύτητας u0.

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η ακόλουθη. Έχουμε μία μπάλα και ένα καλάθι του μπάσκετ (σχήμα 2). Επιχειρούμε δύο βολές. Στην πρώτη βολή η μπάλα βάλλεται υπό γωνία a0=30 μοίρες πάνω από την οριζόντια διεύθυνση και με αρχική ταχύτητα u0=5 m/s με αποτέλεσμα να μην μπει μέσα στο καλάθι. Βρείτε α) το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η μπάλα κατά την διάρκεια της πρώτης βολής β) την οριζόντια απόσταση από το σημείο βολής που θα χτυπήσει η μπάλα το δάπεδο. Έπειτα επιχειρούμε την δεύτερη βολή. Η βολή γίνεται πάλι υπό την ίδια γωνία και η μπάλα μπαίνει στο καλάθι. Βρείτε γ) την αρχική ταχύτητα της μπάλας. Γνωρίζουμε ότι το καλάθι του μπάσκετ βρίσκεται 3 m πάνω από το έδαφος, ότι το σημείο βολής της μπάλας βρίσκεται 2 m πάνω από το έδαφος και ότι η οριζόντια απόσταση του σημείου βολής της μπάλας με το καλάθι είναι 4.5 m.

σχήμα 2, φαίνονται η αρχική θέση της μπάλας και η θέση του καλαθιού.
Η λύση είναι η ακόλουθη:

α) Το μέγιστο ύψος της η μπάλα το αποκτά όταν μηδενιστεί η y συνιστώσα της ταχύτητα της. Η σχέση που δίνει την y συνιστώσα της ταχύτητα της μπάλας συναρτήσει του χρόνου t είναι η
Έτσι για την χρονική στιγμή t0 που η μπάλα φτάνει το μέγιστο ύψος ισχύει
το οποίο συνεπάγεται ότι
Το μέγιστο ύψος δίνεται από τον τύπο
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε
Οπότε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η μπάλα κατά την διάρκεια της πρώτης βολής είναι 2.3 m

β) Όταν η μπάλα χτυπήσει στο δάπεδο ισχύει
και το y της μπάλας δίνεται από τον τύπο
Συνεπώς για να βρούμε την χρονική στιγμή που το σώμα χτυπάει στο δάπεδο λύνουμε την εξίσωση

η οποία κάνοντας αντικαταστάσεις γίνεται
η οποία έχει ως λύσεις τις
από τις οποίες μόνο η t2 είναι αποδεκτή. Η απόσταση που διάνυσε οριζοντίως η μπάλα μέχρι την στιγμή t2 δίνεται από τον τύπο
γ) Για να βρούμε την αρχική ταχύτητα που έχει η μπάλα θα εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι ένα σημείο της τροχιάς της μπάλας είναι το καλάθι. Άρα οι συντεταγμένες του καλαθιού θα επαληθεύουν την εξίσωση τροχιάς της μπάλας. Η εξίσωση τροχιάς είναι η σχέση
Οπότε θα θέσουμε
και καθώς γνωρίζουμε και τα υπόλοιπα στοιχεία της εξίσωσης, θα λύσουμε την εξίσωση αυτή ως προς u0. Συνεπώς η παραπάνω σχέση θα γίνει

και κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές παίρνουμε
Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου