Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Ηχητικά κύματα, πίεση των σημείων του μέσου και ένταση

Θα μελετήσουμε τα ηχητικά κύματα. Τα πιο απλά ηχητικά κύματα είναι αρμονικά που έχουν συγκεκριμένη συχνότητα, πλάτος και μήκος κύματος. Επίσης, αυτά τα κύματα είναι διαμήκη καθώς οι μετατοπίσεις των σημείων του μέσου είναι παράλληλες με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Η κυματοσυνάρτηση που δίνει την μετατόπιση των σημείων του μέσου από την θέση ισορροπίας τους είναι η
Η παραπάνω συνάρτηση είναι η εξίσωση ενός ηχητικού αρμονικού κύματος πλάτους Α, γωνιακής συχνότητας ω και κυματαριθμού k που διαδίδεται μόνο προς μία κατεύθυνση. Τα πραγματικά κύματα διαδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις με κέντρο την πηγή.

Στα αρμονικά ηχητικά κύματα η πίεση του αέρα κυμαίνεται γύρω από την ατμοσφαιρική και μεταβάλλεται αρμονικά. Μπορούμε να εκφράσουμε ένα ηχητικό κύμα συναρτήσει της μεταβολής της πίεσης του αέρα που βρίσκεται στον χώρο διάδοσης. Η έκφραση αυτή προκύπτει από τον ακόλουθο τρόπο:

Έστω p η διαφορική πίεση σε κάποιο σημείο. Η απόλυτη πίεση στο ίδιο σημείο θα είναι patm+p, όπου patm η ατμοσφαιρική πίεση. Επίσης, έστω ότι έχουμε ένα κυλινδρικό στοιχείο αέρα που έχει διατομή S, τον άξονα συμμετρίας του παράλληλο στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος, την αριστερή βάση του στην θέση x και την δεξιά βάση του στην θέση x+dx (σχήμα 1).

σχήμα 1, ο μπλε κύλινδρος δείχνει την θέση ισορροπίας του κυλινδρικού στοιχείου
ενώ ο κόκκινος κύλινδρος δείχνει πως διαμορφώνεται το κυλινδρικό στοιχείο αέρα
όταν διέλθει από αυτό το ηχητικό κύμα.
Ο μπλε κύλινδρος δείχνει την θέση ισορροπίας του κυλινδρικού στοιχείου ενώ ο κόκκινος πως διαμορφώνεται αυτό όταν διέλθει κάποιο ηχητικό κύμα. Ο όγκος του κυλινδρικού στοιχείου στην θέση ηρεμίας του είναι
καθώς το ύψος του κυλινδρικού στοιχείου είναι dx και η διατομή του S. Όταν διέλθει από το κυλινδρικό στοιχείο το κύμα τότε η αριστερή βάση του κυλίνδρου μετατοπίζεται κατά
και η δεξιά του βάση μετατοπίζεται κατά

Έτσι ο όγκος του παραμορφωμένου κυλινδρικού στοιχείου είναι ο
Άρα η μεταβολή του όγκου είναι
Έτσι ο λόγος της μεταβολής του όγκου προς τον αρχικό όγκο είναι
Ακόμη γνωρίζουμε από τον ορισμό του μέτρου ελαστικότητας του όγκου B ότι ισχύει
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι
Ακόμη, συνδυάζοντας την παραπάνω σχέση με την κυματοσυνάρτηση έχουμε
Οπότε, καταλήξαμε σε μία σχέση που μας δίνει την διαφορική πίεση στα διάφορα σημεία του μέσου τις διάφορες χρονικές στιγμές. Επίσης, συμπεραίνουμε πως το πλάτος πίεσης (η μέγιστη τιμή της πίεσης) είναι
το οποίο όπως είναι αναμενόμενο είναι ανάλογο του πλάτους Α.

Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα. Έχουμε ένα ηχητικό που έχει πλάτος πίεσης 40 Pa, η συχνότητα του είναι 2000 Hz και η ταχύτητα του είναι 340 m/s. Η ταλάντωση της πίεσης γίνεται γύρω από την ατμοσφαιρική patm=1.013e5 Pa και ισχύει γ=1.4. Υπολογίστε το πλάτος του κύματος.

Η λύση είναι η εξής: Ο τύπος που δίνει το πλάτος μετατόπισης είναι
Συνεπώς, έχοντας το πλάτος πίεσης γνωστό χρειαζόμαστε τον κυματαριθμό k και το μέτρο ελαστικότητας όγκου του αέρα Β. Για να βρούμε τον κυματαριθμό υπολογίζουμε πρώτα την κυκλική συχνότητα
και έπειτα ο κυματαριθμός υπολογίζεται ως
Επίσης, ως μέτρο ελαστικότητας του όγκου θα χρησιμοποιήσουμε το αδιαβατικό μέτρο ελαστικότητας όγκου που είναι
Έτσι το πλάτος του ηχητικού κύματος είναι
Έπειτα, θα μελετήσουμε την ένταση ενός ηχητικού κύματος. Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια από μία περιοχή του χώρου σε μία άλλη. Ο μέσος ρυθμός ανά μονάδα εμβαδού με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια από το κύμα δια μέσου μίας επιφάνειας ονομάζεται ένταση Ι του ηχητικού κύματος.

σχήμα 2, το τμήμα αέρα δεξιά του α δέχεται δύναμη F από το τμήμα αέρα αριστερά
του α.
Έστω ότι έχουμε ένα κυλινδρικό στοιχείο αέρα διατομής S μέσα στο οποίο διαδίδεται ένα ηχητικό κύμα και έστω μία διατομή a σε αυτό. Το τμήμα του αέρα αριστερά της a ασκεί μία δύναμη F στο τμήμα του αέρα δεξιά της a (σχήμα 2) η οποία παράγει έργο αφού τα σωματίδια του μέσου στην διατομή a κινούνται με ταχύτητα uy. Το έργο αυτό είναι η ενέργεια που μεταφέρεται δια μέσου της διατομής a, δηλαδή η ενέργεια που μεταφέρεται από το τμήμα του μέσου στα αριστερά της a στο τμήμα του μέσου στα δεξιά της a. Ο ρυθμός που γίνεται η μεταφορά ενέργειας είναι η ισχύς P της δύναμης F, η οποία είναι
Όμως ισχύει
όπου p η διαφορική πίεση στην διατομή a. Έτσι, από τις δύο παραπάνω εξισώσεις, η ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας που μεταφέρεται δια μέσου της διατομής a είναι
Η ένταση του κύματος είναι η μέση τιμή του παραπάνω λόγου, δηλαδή
Μία εναλλακτική μορφή της παραπάνω εξίσωσης είναι η
όπου pmax το πλάτος πίεσης, ρ η πυκνότητα του αέρα και u η ταχύτητα του κύματος.

Τέλος, ας δούμε μία ακόμη εφαρμογή. Τι πλάτος κύματος πρέπει να έχει ένα κύμα των 30 Hz για να έχει την ίδια ένταση με ένα κύμα συχνότητας 3000 Hz και πλάτους 0.01 mm;

Η λύση είναι η εξής: Έστω Ι1 η ένταση του πρώτου κύματος (με άγνωστο πλάτος) και Ι2 η ένταση του δεύτερου κύματος (με πλάτος 0.01 mm). Ισχύει
Επίσης ισχύει
Άρα
Όμως για τον κυματαριθμό ισχύει
Οπότε
Έτσι το πλάτος του πρώτου κύματος πρέπει να είναι 1mm.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου