Τρίτη, 28 Οκτωβρίου 2014

Εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές της μηχανικής των ρευστών. Η πρώτη αφορά την άνωση και είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα κύβο με ακμή 0.4 m που αποτελείται από ξύλο. Αρχικά ο κύβος να ισορροπεί (σχήμα 1). Επίσης, στο σχήμα 1 φαίνεται η θέση του κέντρου βάρους του. Έπειτα, ο κύβος περιστρέφεται κατά 45 μοίρες γύρω από τον άξονα συμμετρίας του. Υπολογίστε την συνολική ροπή επαναφοράς του ως προς τον άξονα περιστροφής του.

σχήμα 1, ο κύβος ισορροπεί. Φαίνεται το κέντρο βάρους του ξύλινου κύβου.

σχήμα 2, φαίνεται ο ξύλινος κύβος που έχει εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του,
οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν και τα σημεία εφαρμογής τους.
Αρχικά για να υπολογίσουμε την ροπή που ασκείται στον εκτοπισμένο από την θέση ισορροπίας του κύβο αρκεί να δούμε γύρω από ποιον άξονα περιστρέφεται ο κύβος, ποιες δυνάμεις ασκούνται σε αυτόν και ποια είναι τα σημεία εφαρμογής τους όταν ο κύβος έχει περιστραφεί. Καθώς το σώμα είναι ελεύθερο (δεν έχει καθορισμένο άξονα περιστροφής) ο άξονας περιστροφής του είναι ο άξονας που διέρχεται από το κέντρο βάρους του. Έπειτα, οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο είναι το βάρος του που ασκείται στο κέντρο βάρους του cg και η άνωση που ασκείται στο κέντρο βάρος cg' του εκτοπισμένου υγρού (σχήμα 2). Το βάρος δεν προκαλεί ροπή καθώς η ευθεία δράσης του βάρους διέρχεται από τον άξονα περιστροφής. Έτσι, η συνολική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής που ασκείται στον κύβο είναι η ροπή που ασκεί η άνωση η οποία είναι
όπου L η απόσταση του cg από την ευθεία δράσης της άνωσης και Β το μέτρο της άνωσης. Για το L ισχύει
από την γεωμετρία του προβλήματος. Το επόμενο που μας λείπει είναι η άνωση. Η άνωση ισούται με το βάρος του εκτοπισμένου υγρού δηλαδή
όπου V ο όγκος του εκτοπισμένου υγρού (ο οποίος από την γεωμετρία του προβλήματος είναι ο μισός του όγκου του κύβου) και ρ η πυκνότητα του. Άρα για να βρούμε την ροπή κάνουμε αντικατάσταση τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών και έχουμε
Συνεπώς η ροπή επαναφοράς γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους του σώματος (άξονας περιστροφής) ισούται με 22 Nm.

Να σημειωθεί το εξής: Αρχικά ο κύβος ισορροπεί οπότε ισχύει
Όμως η άνωση έχει το ίδιο μέτρο πριν και μετά την εκτροπή του κύβου αφού και στις δύο περιπτώσεις (όπως φαίνεται στα σχήματα 1 και 2) εκτοπίζεται η ίδια ποσότητα νερού. Ως εκ τούτου η παραπάνω ισότητα ισχύει και μετά την εκτροπή του κύβου. Έτσι όταν ο κύβος εκτραπεί το βάρος και η άνωση αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Αυτό συνεπάγεται πως η συνολική ροπή προς οποιοδήποτε άξονα που διέρχεται από τον ξύλινο κύβο θα ισούται με

Η επόμενη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε έναν ανοικτό κυλινδρικό κάδο ο οποίος στο κέντρο του πυθμένα του έχει μία οπή εμβαδού Α'=2 cm2 (σχήμα 3). Ένας σωλήνας τον τροφοδοτεί με παροχή Q=3e-4 m3/s. Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το νερό;

σχήμα 3, ο σωλήνας τροφοδοτεί με σταθερή παροχή τον κυλινδρικό
κάδο.
Η βασική αρχή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ότι ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού που βρίσκεται μέσα στον κάδο ισούται με την εισροή μείον την εκροή, δηλαδή την παροχή Q μείον την παροχή που περνάει από την οπή στον πυθμένα του κάδου. Η παροχή μέσω την οπής μας είναι άγνωστη οπότε θα την υπολογίσουμε. Πρώτα θα υπολογίσουμε την ταχύτητα του νερού στην οπή (σημείο 2) εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 2. Η εξίσωση αυτή είναι η
στο σημείο 1 η πίεση p1 είναι η ατμοσφαιρική οπότε είναι μηδέν. Το ίδιο ισχύει και για το σημείο 2. Επίσης η ταχύτητα του νερού στο σημείο 1 είναι μηδέν. Δηλαδή
Έτσι η εξίσωση Bernoulli γίνεται η ακόλουθη
όμως
όποτε
Έτσι η παροχή στο σημείο 2 είναι
Άρα καθώς ο ρυθμός μεταβολής του όγκου V του νερού που βρίσκεται μέσα στον κάδο ισούται με την εισροή μείον την εκροή έχουμε
όπου h το ύψος του νερού και Α το εμβαδόν της διατομής του κυλινδρικού κάδου. Όταν το νερό φτάσει στο μέγιστο ύψος του
άρα
Άρα το μέγιστο ύψος που φτάνει το νερό είναι 0.115 m.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D.Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου