Παρασκευή, 3 Οκτωβρίου 2014

Υπολογισμός της μεταβολής της εντροπίας σε ένα σύστημα

Έχουμε το εξής πρόβλημα: Φέρνουμε σε επαφή 1 kg νερού που έχει θερμοκρασία 330 Κ με 2 kg νερού που έχει θερμοκρασία 300 Κ. Αν η ειδική θερμοχωρητικότητα του νερού είναι c=4190 J/kg K πως μπορούμε να υπολογίστε την ολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος;
Αρχικά για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
ο οποίος μας δίνει την απειροστή μεταβολή της εντροπίας dS όταν σε ένα σώμα θερμοκρασίας T εισρεύσει ένα απειροστό ποσό θερμότητας dQ. Ο παραπάνω τύπος ισχύει μόνο για αντιστρεπτές μεταβολές. Στο πρόβλημα μας υπάρχει ροή θερμότητας που όμως είναι μία μη αντιστρεπτή μεταβολή. Εμείς θα θεωρήσουμε πως η μεταβολή αυτή συμβαίνει αργά και αντιστρεπτά για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο. Το αποτέλεσμα που θα βρούμε δεν θα επηρεαστεί από την παραπάνω υπόθεση καθώς η εντροπία εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος. Έτσι είτε η μεταβολή συμβαίνει αργά και αντιστρεπτά είτε συμβαίνει μη αντιστρεπτά η μεταβολή της εντροπίας θα είναι η ίδια και στις δύο περιπτώσεις καθώς η αρχική και η τελική κατάσταση του συστήματος δεν διαφοροποιείται.

Έπειτα χρειάζεται να βρούμε την τελική θερμοκρασία του συστήματος των δύο μαζών νερού. Αυτό γίνεται θεωρώντας πως ποσό θερμότητας Q1 που αποσπάται από την πρώτη μάζα νερού (1 kg) συνδέεται με το ποσό θερμότητας Q2 που δέχεται η δεύτερη μάζα νερού (2 kg) με την σχέση
Όμως ισχύει
όπου Τ η τελική θερμοκρασία των δύο μαζών νερού, Τ1 η αρχική θερμοκρασία της πρώτης μάζας m1 και Τ2 η αρχική θερμοκρασία της δεύτερης μάζας m2. Συνδυάζουμε τις παραπάνω εξισώσεις για να βρούμε την τελική θερμοκρασία του συστήματος Τ. Οπότε έχουμε
Μετά υπολογίζουμε την συνολική μεταβολή της εντροπίας κάθε μάζας ξεχωριστά. Αρχίζουμε από την μάζα m1. Η συνολική μεταβολή της εντροπίας για την μάζα m1 δίνεται από την παρακάτω σχέση
καθώς είναι το άθροισμα (ολοκλήρωμα) όλων των στοιχειωδών μεταβολών της εντροπίας της μάζας m1. Πρέπει να συσχετίσουμε το διαφορικό του ολοκληρώματος με τα άκρα του. Συνεπώς, χρησιμοποιούμε την σχέση
και το ολοκλήρωμα γίνεται
Έτσι βρήκαμε την μεταβολή της εντροπίας για την μάζα m1. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία για την μάζα m2 βρίσκουμε ότι
Οπότε η συνολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος ΔStot είναι
Η συνολική μεταβολή της εντροπίας είναι θετική. Ακριβώς αυτό προβλέπει το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα για τις μη αντιστρεπτές μεταβολές. Η εντροπία σε μη αντιστρεπτές μεταβολές, όπως η ροή θερμότητας, αυξάνεται.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου