Τρίτη, 7 Οκτωβρίου 2014

Λεπτά υμένια και συμβολή

Συμβολή κυμάτων είναι η περίπτωση κατά την οποία έχουμε αλληλεπικάλυψη δύο ή περισσότερων κυμάτων στον χώρο. Θα μελετήσουμε το φαινόμενο συμβολής στην περίπτωση που έχουμε ανακλάσεις εξαιτίας της ύπαρξης ενός λεπτού υμενίου. Η βασική αρχή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η αρχή της γραμμικής επαλληλίας.

Μία περίπτωση συμβολής εξαιτίας λεπτού υμενίου φαίνεται στο σχήμα 1.

σχήμα 1, οι ανακλώμενες ακτίνες από την πάνω και την κάτω πλευρά του λεπτού
υμενίου συμβάλουν στο σημείο p.
Φως προσπίπτει στην πάνω επιφάνεια ενός λεπτού υμενίου (πάχους t) και ανακλάται μερικώς από αυτήν (διαδρομή abp). Το φως που διαπερνά την πάνω επιφάνεια ανακλάται μερικώς από την κάτω επιφάνεια του υμενίου (διαδρομή abcdp). Τα δύο αυτά κύματα φωτός συναντώνται στο σημείο p (που θα μπορούσε να βρίσκεται στον αμφιβληστροειδή χιτώνα του ματιού μας). Ανάλογα με την σχέση των φάσεων τους μπορεί να συμβάλουν αναιρετικά ή ενισχυτικά. Διαφορετικά χρώματα φωτός έχουν διαφορετικά μήκη κύματος και έτσι η συμβολή μπορεί να είναι αναιρετική για κάποια χρώματα και ενισχυτική για άλλα. Έτσι προκύπτουν χρωματιστοί κροσσοί.

Έπειτα έχουμε ένα παράδειγμα που αναφέρεται σε μονοχρωματικό φως που ανακλάται από δύο σχεδόν παράλληλες επιφάνειες. Στο σχήμα 2 φαίνονται δύο πλακίδια γυαλιού που σχηματίζουν μία λεπτή σφήνα αέρα. Θα εξετάσουμε το φαινόμενο συμβολής που συμβαίνει από τα κύματα που ανακλώνται από τις επιφάνειες που σχηματίζουν τη λεπτή σφήνα αέρα. Ανακλάσεις συμβαίνουν  και στις υπόλοιπες επιφάνειες των πλακιδίων απλώς δεν τις λαμβάνουμε υπόψιν μας για λόγους απλότητας.
σχήμα 2, τα κύματα από τις δύο πλευρές της σφήνας του αέρα συμβάλουν.
Η περίπτωση αυτή είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση του σχήματος 1 μόνο που εδώ το πάχος του υμενίου δεν είναι σταθερό. Η διαφορά δρόμου μεταξύ των δύο κυμάτων είναι παντού διπλάσια του t. Στα σημεία που το 2t ισούται με τον ακέραιο αριθμό μηκών κύματος αναμένουμε ενισχυτική συμβολή ενώ στα σημεία που το 2t ισούται με τον ημιακέραιο αριθμό μηκών κύματος αναμένουμε αναιρετική συμβολή. Αφού επί της ευθείας επαφής των δύο πλακιδίων δεν υπάρχει διαφορά δρόμου αναμένουμε φωτεινή περιοχή.

Όμως αν εκτελέσουμε ένα πείραμα με αυτό το φαινόμενο, η θέση των φωτεινών και σκοτεινών κροσσών έχει εναλλαχθεί. Στην ευθεία επαφής των δύο πλακιδίων βρίσκουμε σκοτεινό κροσσό και όχι φωτεινό. Από αυτό συμπεραίνουμε πως ένα από τα δύο κύματα μας έχει υποστεί κατά την ανάκλαση του μετατόπιση φάσης κατά μισό κύκλο. Έτσι τα ανακλώμενα κύματα στην ευθεία επαφής αν και έχουν μηδενική διαφορά δρόμου βρίσκονται εκτός φάσης κατά μισό κύκλο.

Αυτή η μετατόπιση φάσης μπορεί να προβλεφτεί από τις εξισώσεις του Maxwell και από την ηλεκτρομαγνητική φύση του φωτός. Όταν έχουμε ένα κύμα που διαδίδεται σε ένα υλικό με δείκτη διάθλασης na και αυτό προσπίπτει και ανακλάται σε ένα υλικό με δείκτη διάθλασης nb, το πλάτος Er του ανακλώμενου κύματος συνδέεται με το πλάτος Ei του προσπίπτοντος κύματος με τον τύπο:
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
  1. Αν na>nb τότε τα Εr και Ei έχουν το ίδιο πρόσημο άρα η μετατόπιση φάσης του ανακλώμενου κύματος σε σχέση με το προσπίπτον είναι μηδενική.
  2. Αν na=nb τότε το πλάτος Er είναι μηδενικό, οπότε δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα. Αυτό είναι λογικό καθώς το προσπίπτον κύμα δεν αντιλαμβάνεται την διαχωριστική επιφάνεια.
  3. Αν na<nb τότε τα Er και Ei έχουν αντίθετο πρόσημο οπότε η μετατόπιση φάσης του ανακλώμενου κύματος σχετικά με το προσπίπτον είναι μισός κύκλος.
Ας εφαρμόσουμε τα παραπάνω στην περίπτωση του σχήματος 2. Για το κύμα που ανακλάται από την πάνω επιφάνεια της σφήνας ισχύει πως το na (για το γυαλί) είναι μεγαλύτερο από το nb (για τον αέρα) με αποτέλεσμα να μην έχουμε μετατόπιση φάσης. Για το κύμα που ανακλάται από την κάτω επιφάνεια της σφήνας το na (για τον αέρα) είναι μικρότερο από το nb (για το γυαλί) και με αποτέλεσμα το κύμα υφίσταται μετατόπιση φάσης κατά μισό κύκλο.
    Έτσι συμπεραίνουμε πως αν κανένα ή και τα δύο κύματα έχουν υποστεί μετατόπιση φάσης έχουμε ενισχυτική συμβολή. Η συνθήκη για να συμβαίνει ενισχυτική συμβολή είναι η
    Όμως αν ένα από τα δύο κύματα υποστεί μετατόπιση φάσης η (1) είναι η συνθήκη για αναιρετική συμβολή.

    Αν κανένα ή και τα δύο κύματα έχουν υποστεί μετατόπιση φάσης έχουμε αναιρετική συμβολή η συνθήκη της οποίας είναι η
    Αν όμως ένα από τα δύο κύματα υποστεί μετατόπιση φάσης η (2) είναι η συνθήκη για ενισχυτική συμβολή. Στις εξισώσεις (1) και (2) λ είναι το μήκος κύματος του φωτεινού κύματος μέσα στο λεπτό υμένιο. Σε κάθε τιμή του m αντιστοιχεί ένας σκοτεινός ή φωτεινός κροσσός.

    Τα παραπάνω μπορούμε να τα εξηγήσουμε καλύτερα στο επόμενο παράδειγμα. Έστω ότι τα δύο πλακίδια του σχήματος 2 έχουν μήκος 15 cm και η απόσταση που διαχωρίζονται στα δεξιά είναι 0.01 mm. Τα δύο πλακίδια έχουν τον ίδιο δείκτη διάθλασης (μεγαλύτερος του κενού) και το λεπτό υμένιο ενδιάμεσα τους είναι κενό. Το φως που προέρχεται από την πηγή έχει μήκος κύματος λ0=600 nm. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των κροσσών στην εικόνα συμβολής. Ο κροσσός στην ευθεία επαφής είναι φωτεινός ή σκοτεινός;

    Αρχικά βλέπουμε πως από την γεωμετρία του σχήματος 2 για το t ισχύει

    Έπειτα πρέπει να σκεφτούμε το εξής: Το πρώτο ανακλώμενο κύμα διαδίδεται στο πρώτο πλακίδιο με δείκτη διάθλασης na (μεγαλύτερο του κενού) και έπειτα προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια του πλακιδίου αυτού με το κενό (nb). Έτσι καθώς ο δείκτης διάθλασης του πλακιδίου είναι μεγαλύτερος του κενού (na>nb) δεν υπάρχει μετατόπιση φάσης του κύματος. Το δεύτερο κύμα διαδίδεται στο κενό (na) και έπειτα ανακλάται στην διαχωριστική επιφάνεια του κενού με το δεύτερο πλακίδιο που έχει πιο μεγάλη οπτική πυκνότητα (nb). Έτσι na<nb και το δεύτερο ανακλώμενο κύμα υπόκεινται σε μετατόπιση φάσης μισού κύκλου. Συνεπώς ο κροσσός της ευθείας επαφής είναι σκοτεινός.

    Οπότε θα χρησιμοποιήσουμε την συνθήκη αναιρετικής συμβολής στην περίπτωση που ένα από τα δύο ανακλώμενα κύματα υπόκεινται σε μετατόπιση φάσης, δηλαδή την σχέση (1). Από τις σχέσεις (1) και (3) έχουμε

    Αφού η σφήνα αέρα είναι κενή ισχύει

    Οπότε, κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές βλέπουμε έχουμε
    Έτσι, η απόσταση δύο διαδοχικών σκοτεινών κροσσών (διαδοχικές τιμές του m) είναι 4.5 mm.

    Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

    Δεν υπάρχουν σχόλια:

    Δημοσίευση σχολίου