Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Κυβικές splines

Μία συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα I μπορεί να προσεγγιστεί από ένα σύνολο n πολυωνύμων. Τα πολυώνυμα αυτά ονομάζονται splines και οι πιο συνηθισμένες είναι οι κυβικές splines. Αυτές είναι πολυώνυμα συνεπώς είναι συνεχείς συναρτήσεις, με συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους.

Το διάστημα Ι περιέχει τα σημεία
Η κυβική spline μεταξύ των σημείων (xi, f(xi)) και (x(i+1), f(x(i+1))) είναι δυνατόν να αποδοθεί με το πολυώνυμο
Η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος I, δηλαδή για i=1 μέχρι i=n-1. Αυτό που προσπαθούμε να πετύχουμε είναι να υπολογίσουμε τους συντελεστές ai, bi, ci, di για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος Ι έχοντας ως δεδομένα τα ίδια τα σημεία του διαστήματος, δηλαδή τις τιμές (xi,f(xi)) για κάθε σημείο του διαστήματος.

Για να εξάγουμε σχέσεις που χρειαζόμαστε αρχικά βρίσκουμε τις τιμές της κυβικής spline στα σημεία xi και x(i+1). Έτσι προκύπτει
και
όμως θέτοντας
έχουμε
Επίσης ισχύει
αφού τα σημεία της συνάρτησης f(x) είναι και σημεία του p(x)

Έπειτα βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της p(x), δηλαδή
και ονομάζουμε με Si και Si+1 την τιμή της δεύτερης παραγώγου του p(x) στα  (xi, f(xi)) και (x(i+1), f(x(i+1))) αντίστοιχα, οπότε βρίσκοντας τις τιμές της δεύτερης παραγώγου στα σημεία αυτά έχουμε
Έτσι λύνοντας ως προς ai και bi έχουμε
Από τις δύο παραπάνω σχέσεις και τις σχέσεις που προκύπτουν αν στο p(x) θέσουμε όπου x το xi και x(i+1) συμπεραίνουμε το εξής:
Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση που χαρακτηρίζει μία spline, δηλαδή τους όρους ai, bi, ci, di, συναρτήσει των Si, S(i+1), f(xi), f(x(i+1)). Ξαναγράφοντας τις σχέσεις αυτές έχουμε
Έτσι αν θέλουμε να προσδιορίσουμε όλες τις splines που αντιστοιχούν στο διάστημα I πρέπει να υπολογίσουμε όλους τους παραπάνω όρους από i=0 μέχρι n-1.

Τώρα θα υπολογίσουμε τις σχέσεις μεταξύ δύο διαδοχικών splines. Η κλίση της spline που αντιστοιχεί στο διάστημα [xi, x(i+1)] στο σημείο xi είναι
Η κλίση της spline που αντιστοιχεί στο διάστημα [x(i-1), xi] είναι
Καθώς η κλίση των δύο αυτών spline ισούται στο σημείο xi εξισώνουμε τις δύο παραπάνω σχέσεις και κάνοντας πράξεις προκύπτει η σχέση
Η εξίσωση αυτή εφαρμόζεται για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος I, δηλαδή από i=1 μέχρι n-1. Προσπαθώντας να προσδιορίσουμε τα Si από i=0 μέχρι n δημιουργείται ένα σύστημα n-1 εξισώσεων με n+1 αγνώστους. Το σύστημα αυτό έχει άπειρες λύσεις αφού οι άγνωστοι είναι περισσότεροι από τις εξισώσεις. Για να οδηγηθούμε σε μία και μοναδική λύση επιλέγουμε την τιμή δύο αγνώστων και έτσι το σύστημα μας ανάγεται σε σύστημα n-1Xn-1. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
  1. Θεωρούμε ότι S0=Sn=0. Έτσι οι ακραίες splines είναι γραμμικές στα όρια τους.
  2. S0=S1 και Sn=Sn-1. Τότε οι ακραίες καμπύλες προσεγγίζουν παραβολές.
  3. To S0 προσεγγίζεται από γραμμική παρεμβολή των S1 και S2 και το Sn από γραμμική παρεμβολή των Sn-1 και Sn-2.
Το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως:
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε τους αγνώστους S1, S2,...Sn-1 και συνεπώς όλους τους όρους ai, bi, ci, di γνωρίζοντας με αυτό τον τρόπο όλες τις splines που προσεγγίζουν την συνάρτηση f(x).

Πηγή: Αριθμητική ανάλυση με χρήση Η/Υ, Ε. Σιδηρόπουλος, Χ. Φωτιάδης



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου