Τετάρτη, 22 Οκτωβρίου 2014

Επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης

Θα μελετήσουμε την επίλυση μη ομογενών διαφορικών εξισώσεων v τάξης. Οι εξισώσεις αυτές έχουν την μορφή
όπου P1, P2,..., Pν-1, Pv σταθεροί όροι. Υπάρχει μία συγκεκριμένη διαδικασία για την επίλυση αυτού του τύπου των διαφορικών εξισώσεων η οποία στηρίζεται στην μερική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης και στην λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης.

Γενικά, αν γνωρίζουμε μία μερική λύση yμ(x) της μη ομογενούς εξίσωσης τότε το πρόβλημα μας ανάγεται στην λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης. Συνεπώς, αν y0(x) είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσης η τελική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης θα είναι το άθροισμα yμ(x)+y0(x), δηλαδή

Αρχικά πρέπει να βρούμε την λύση της ομογενούς εξίσωσης. Η ομογενής εξίσωση είναι της μορφής
Πρώτα λύνουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης η οποία είναι
και έχει λύσεις τα
Τότε η λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι η
Στην περίπτωση όμως κάποια ρίζα λi της χαρακτηριστικής εξίσωσης παρουσιάζει πολλαπλότητα (δηλαδή παρουσιάζεται πολλές φορές) στην παραπάνω λύση προσθέτουμε τους όρους
όπου m η πολλαπλότητα της ρίζας λi.

Ας δούμε δύο παραδείγματα για να το κατανοήσουμε. Το πρώτο παράδειγμα είναι η ομογενής διαφορική εξίσωση
Η χαρακτηριστική εξίσωση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι η
η οποία έχει λύσεις τα
Άρα η γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι η

Ένα δεύτερο παράδειγμα είναι η ομογενής διαφορική εξίσωση
Η χαρακτηριστική της εξίσωση είναι η
και έχει ρίζες τις
Παρατηρούμε ότι η ρίζα -1 παρουσιάζει πολλαπλότητα 3. Άρα στην λύση της ομογενούς εξίσωσης
προσθέτουμε τους όρους (που είναι 3-1=2 σε αριθμό)
και συνεπώς η λύση της ομογενούς εξίσωσης γίνεται
Το επόμενο βήμα είναι η εύρεση της μερικής λύσης της μη ομογενούς εξίσωσης. Έχουμε δει πως μέσα στον τύπο της μη ομογενής διαφορικής εξίσωσης υπάρχει μία συνάρτηση f(x). Η μορφή της μερικής λύση της ομογενούς εξίσωσης εξαρτάται από την μορφή της f(x). Παρακάτω ακολουθεί ένας πίνακας που στα αριστερά μας δίνει την μορφή της f(x) και δεξιά την μορφή της μερικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης.
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Έχουμε την διαφορική εξίσωση
η οποία είναι μη ομογενής. Η συνάρτηση f(x) είναι
οπότε επιλέγουμε ως μορφή της μερικής λύσης την
Κάνοντας αντικατάσταση της παραπάνω λύσης στην διαφορική εξίσωση δηλαδή έχουμε
Έπειτα βρίσκοντας ότι
καταλήγουμε στην εξίσωση
απ' όπου με ισότητα πολυωνύμων καταλήγουμε στο ότι
Συνεπώς η μερική λύση είναι η εξής

Αν θέλουμε τώρα να βρούμε την τελική λύση της μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης του παραπάνω παραδείγματος λύνουμε την χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς διαφορικής εξίσωσης, η οποία είναι η
και από την οποία προκύπτει ότι
Άρα η λύση της ομογενούς εξίσωσης είναι η
Οπότε η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου