Παρασκευή, 21 Νοεμβρίου 2014

Εκτροπή του φωτός από φράγμα περίθλασης

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με την εκτροπή του φωτός από φράγμα περίθλασης. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έστω ότι έχουμε ένα φράγμα περίθλασης που έχει 500 γραμμές ανά mm α) Να υπολογισθεί το γωνιακό εύρος του φάσματος πρώτης τάξης που παράγεται όταν λευκό φως προσπίπτει στο φράγμα. β) Να αποδειχθεί πως το ιώδες άκρο του φάσματος τρίτης τάξης επικαλύπτεται από το ερυθρό άκρο του φάσματος δεύτερης τάξης. Θεωρούμε ότι τα όρια των μηκών κύματος του λευκού φωτός είναι 400 nm (ιώδες) και 700 nm (ερυθρό).

Για να λύσουμε προβλήματα που σχετίζονται με φράγμα περίθλασης αρκεί να συνδέσουμε την θέση των μεγίστων στο διαμόρφωμα περίθλασης, το οποίο σχηματίζεται όταν μονοχρωματικό φως πέσει πάνω σε φράγμα περίθλασης, με το μήκος κύματος του μονοχρωματικού φωτός. Η σύνδεση αυτή γίνεται με τον τύπο
όπου d είναι η απόσταση μεταξύ των σχισμών του φράγματος, θ η κατεύθυνση που εμφανίζεται το m-οστό μέγιστο και λ το μήκος κύματος του μονοχρωματικού φωτός που προσπίπτει στο φράγμα (σχήμα 1).

σχήμα 1, μονοχρωματικό φως πέφτει πάνω σε φράγμα περίθλασης. Η γωνία θ
είναι η κατεύθυνση που εμφανίζεται το m-οστό μέγιστο πάνω στο διαμόρφωμα
περίθλασης και μετριέται από το κέντρο του διαμορφώματος. Η απόσταση των
σχισμών είναι d.
Η λύση του πρώτου προβλήματος είναι η εξής:

α) Αρχικά πρέπει να βρούμε το d. Αφού το φράγμα έχει 500 σχισμές ανά mm το d είναι
Καθώς μας ενδιαφέρει το γωνιακό εύρος του φάσματος πρώτης τάξης θα θεωρήσουμε ότι
Έπειτα θα αναλύσουμε το λευκό φως στις συνιστώσες του καθώς μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς μόνο με μονοχρωματικό φως. Θα υπολογίσουμε τις εκτροπές της ιώδους και της ερυθρής συνιστώσας του φωτός και μετά θα βρούμε το ζητούμενο εύρος αφαιρώντας τες. Έτσι η εκτροπή του ιώδους φωτός θv είναι
και η εκτροπή του ερυθρού φωτός θr είναι
Άρα το φάσμα πρώτης τάξης έχει γωνιακό εύρος
β) Για να αποδείξουμε ότι το ιώδες άκρο του φάσματος τρίτης τάξης επικαλύπτεται από το ερυθρό άκρο του φάσματος δεύτερης τάξης αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα
όπου θr,2 είναι η γωνία που εμφανίζεται το μέγιστο δεύτερης τάξης του ερυθρού φωτός και θv,3 είναι η γωνία που εμφανίζεται το μέγιστο τρίτης τάξης του ιώδους φωτός. Για τις δύο γωνίες ισχύει
και
Έτσι ισχύει η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε οπότε το ιώδες άκρο του φάσματος τρίτης τάξης επικαλύπτεται από το ερυθρό άκρο του φάσματος δεύτερης τάξης.

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος κύματος που είναι δυνατόν να παρατηρηθεί στην τέταρτη τάξη ενός φράγματος περίθλασης που φέρει 5000 σχισμές/cm.

Η λύση είναι η ακόλουθη: Βάσει της εξίσωσης (1) για ένα συγκεκριμένο m το μήκος κύματος μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί η γωνία θ. Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η γωνία αυτή είναι
καθώς σε αυτή την οριακή περίπτωση οι ακτίνες του φωτός, που συμβάλουν για την δημιουργία του μέγιστου, είναι αυτές που εκτρέπονται κατά 90 μοίρες και συνεχίζουν την πορεία τους παράλληλα στο φράγμα περίθλασης. Έτσι από την εξίσωση (1) έχουμε
Όμως
Άρα
Για το d ισχύει
Οπότε
Άρα το μεγαλύτερο δυνατό παρατηρήσιμο μήκος κύματος είναι τα 500 nm.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου