Σάββατο, 22 Νοεμβρίου 2014

Τροχιά βλήματος

Συνήθως κατά την μελέτη κίνησης βλημάτων θεωρούμε πως η αντίσταση του αέρα είναι πολύ μικρή και δεν την λαμβάνουμε υπόψιν μας. Στην πραγματικότητα όμως μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι μία σημαντική επίδραση και σε ορισμένες περιπτώσεις πρέπει να την λάβουμε υπόψιν μας στις εξισώσεις κίνησης ενός βλήματος. Καθώς όμως η εξίσωση τροχιάς στην οποία μπορούμε να καταλήξουμε μπορεί να είναι περίπλοκη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο για να βρούμε τις συντεταγμένες της τροχιάς.


Όταν θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα η επιτάχυνση του βλήματος έχει συνιστώσες
Η αντίσταση του αέρα προσθέτει τους εξής όρους στις παραπάνω εξισώσεις
όπου u η ταχύτητα του βλήματος, ux και uy οι συνιστώσες της και k μία σταθερά που σχετίζεται με την αντίσταση του αέρα. Έτσι οι συνιστώσες της συνολικής επιτάχυνσης είναι
Το k μπορούμε να το υπολογίσουμε από τον τύπο
όπου ρ η πυκνότητα του αέρα, Α η διατομή του βλήματος, m η μάζα του και C μία αδιάστατη σταθερά, που ονομάζεται συντελεστής αντίστασης και εξαρτάται από την μορφή του σώματος. Συνήθως αυτός κυμαίνεται μεταξύ 0.3 έως 0.6 .

Τώρα θα υπολογίσουμε με έναν αλγόριθμο τις συντεταγμένες της τροχιάς του βλήματος. Για να το κάνουμε αυτό θα θεωρήσουμε πως μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά κατά x και κατά y. Στο επόμενο χρονικό διάστημα θα διορθώσουμε την ταχύτητα του βάσει της επιτάχυνσης που έχει στο προηγούμενο χρονικό διάστημα. Έστω ένα διάστημα [t, t+Δt]. Οι εξισώσεις που θα διέπουν την κίνηση του βλήματος θα είναι οι εξής:
Ας εφαρμόσουμε τις παραπάνω εξισώσεις σε δύο διαδοχικά διαστήματα για να καταλάβουμε καλύτερα την παραπάνω ιδέα. Έστω τα διαστήματα [1,2] και [2,3]. Αν γνωρίζουμε τα x(1), y(1), ux(1) και uy(1) τότε μέσω των εξισώσεων 3 και 4 μπορούμε να βρούμε τα x(2) και y(2). Για να βρούμε τα x(3) και y(3) όμως πρέπει να γνωρίζουμε τα ux(2) και uy(2) τα οποία μπορούμε να τα βρούμε αν εφαρμόσουμε τις εξισώσεις 5 και 6 στο διάστημα [1,2] και υπολογίζοντας τα ax-tot(1) και ay-tot(1) από τις εξισώσεις 1 και 2. Για την διευκόλυνση μας μπορούμε να γράψουμε έναν κώδικα σε visual basic που κάνει την παραπάνω διαδικασία ο οποίος είναι ο εξής:

Private Sub Command1_Click()

'δηλώνουμε τις μεταβλητές
Dim r As Double, m As Double, r0 As Double, C As Double, t As Double, dt As Double
Dim x0 As Double, y0 As Double, u0 As Double, thi As Double, x As Double, y As Double, ux As Double, uy As Double, ax As Double, ay As Double

'ορίζουμε την πυκνότητα του αέρα και τον αριθμό π
r0 = 1.2
pi = 4 * Atn(1)

'εισάγουμε τα στοιχεία του βλήματος
r = InputBox("Δώσε την ακτίνα του βλήματος σε m.")
m = InputBox("Δώσε την μάζα του βλήματος σε kg.")
C = InputBox("Δώσε τον συντελεστή αντίστασης.")

'υπολογίζουμε τον συντελεστή k
k = (r0 * C * pi * r ^ 2) / (2 * m)

'ανοίγουμε ένα αρχείο στο οποίο θα εκτυπώσουμε τις συντεταγμένες της τροχίας του βλήματος
Open "print.txt" For Output As #1

'εισάγουμε τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος
u0 = InputBox("Δώσε την αρχική ταχύτητα του βλήματος σε m/s.")
thi = InputBox("Δώσε την αρχική διεύθυνση του βλήματος σε μοίρες.")
y = InputBox("Δώσε το αρχικό ύψος του βλήματος.")

'ορίζουμε ως Δt to 0.1 s
dt = 0.1

'μετατρέπουμε την αρχική διεύθυνση από μοίρες σε rad
thirad = thi * 180 / pi

'υπολογίζουμε τις αρχικές συνιστώσες της ταχύτητας
t = 0
ux = u0 * Cos(thirad)
uy = u0 * Sin(thirad)
x = 0

'όσο το σώμα δεν έχει πέσει στο έδαφος (y>0) κάνουμε την παρακάτω διαδικασία
Do While y > 0

'υπολογίζουμε τις συνιστώσες της επιτάχυνσης για το χρονικό διάστημα Δt
ax = -k * Sqr(ux ^ 2 + uy ^ 2) * ux
ay = -k * Sqr(ux ^ 2 + uy ^ 2) * uy - 9.81

'εκτυπώνουμε στο αρχείο τις συντεταγμένες του βλήματος
Print #1, t, x, y

'υπολογίζουμε τις νέες συντεταγμένες
x = x + ux * dt
y = y + uy * dt

'υπολογίζουμε τις νέες ταχύτητες
ux = ux + ax * dt
uy = uy + ay * dt
t = t + dt
Loop

'κλείνουμε το αρχείο
Close

End Sub

Πλοτάροντας τις συντεταγμένες της τροχιάς του βλήματος και για διάφορες τιμές του C παίρνουμε το ακόλουθο γράφημα

Όπως ήταν αναμενόμενο η αντίσταση του αέρα παίζει σημαντικό ρόλο στην τροχιά του βλήματος. Για C=0 έχουμε το μέγιστο βεληνεκές του βλήματος.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου