Τετάρτη, 26 Νοεμβρίου 2014

Κλίση τριβής

Η κλίση τριβής είναι ένας συντελεστής που εισέρχεται στις εξισώσεις ροής ενός ανοικτού αγωγού και ουσιαστικά παριστάνει την δύναμη που δέχεται το ρευστό από τα τοιχώματα του αγωγού. Επίσης, ο συντελεστής αυτός αποτελεί την κλίση της γραμμής ολικού φορτίου του ρευστού, δηλαδή εκφράζει τις απώλειες ενέργειας ανά μονάδα μήκους του αγωγού. Μπορούμε να τον συνδέσουμε με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αγωγού και την τραχύτητα του μέσω των εξισώσεων του Chezy και του Manning.

Αρχικά, θα εξάγουμε την εξίσωση του Chezy και θα δούμε πως σχετίζεται με την κλίση τριβής του αγωγού. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε την τριβή που ασκείται σε ένα τμήμα του ρευστού με μήκος Δx. Η δύναμη αυτή δίνεται από τον τύπο
όπου ρ η πυκνότητα του υγρού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, Α η διατομή του αγωγού και Sf η κλίση τριβής. Για την δύναμη τριβής επίσης ισχύει
όπου τ0 η διατμητική τάση στο τοίχωμα του αγωγού και P η βρεχόμενη περίμετρος της διατομής. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις καταλήγουμε στο ότι
όπου R η υδραυλική ακτίνα του αγωγού. Όπως στην περίπτωση ροής σε κλειστό αγωγό η διατμητική τάση μπορεί να συνδεθεί με την ταχύτητα V της ροής με την σχέση
όπου c ένας συντελεστής που εξαρτάται από τα τοιχώματα του αγωγού και την ροή. Έτσι συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε
Θέτοντας
και κάνοντας αναδιάταξη καταλήγουμε στην εξίσωση του Chezy που είναι
Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε με ακρίβεια την εξίσωση του Chezy πρέπει να γνωρίζουμε με ακρίβεια το C. Για να βρούμε τον συντελεστή αυτόν ακολουθούμε τον παρακάτω συλλογισμό: Για το Sf ισχύει
καθώς η κλίση τριβής είναι ο ρυθμός μείωσης του φορτίου της ροής. Κάνοντας πράξεις έχουμε ότι
Η παραπάνω εξίσωση μοιάζει με την εξίσωση Darcy-Weisbach για ροή σε κλειστό αγωγό η οποία είναι
Λαμβάνοντας υπόψιν ότι για κλειστό αγωγό ισχύει D=4R και συγκρίνοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ότι
Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε με διάφορους εμπειρικούς τύπους το f και με τον παραπάνω τύπο μπορούμε να βρούμε το C. Ορισμένοι εμπειρικοί τύποι για το f, όταν έχουμε τυρβώδη ροή, είναι οι ακόλουθοι
  1. λεία τοιχώματα
  2. ενδιάμεσα τοιχώματα
  3. τραχιά τοιχώματα

όπου ks η τραχύτητα.

Έπειτα, μία άλλη εξίσωση που σχετίζεται με την κλίση τριβής είναι η εμπειρική εξίσωση του Manning η οποία είναι η
όπου n ο συντελεστής τραχύτητας που ονομάζεται και αλλιώς συντελεστής του Manning. Η παραπάνω εξίσωση έχει εξακριβωθεί σε μεγάλο φάσμα ροών, οπότε χρησιμοποιείται ευρύτατα για υπολογισμούς σε θέματα ανοικτών αγωγών. Συγκρίνοντας την εξίσωση του Manning με την εξίσωση του Chezy καταλήγουμε στην εξής σχέση για το n
και γράφοντας το C συναρτήσει του f παίρνουμε
Με αυτό τον τρόπο υπολογίζοντας το f από τις εμπειρικές σχέσεις που αναφέραμε παραπάνω μπορούμε να βρούμε την τιμή του n

Πηγή: Σημειώσεις υδραυλικής ανοικτών αγωγών, Α. Δαμασκηνίδου-Γεωργιάδου, Ε. Σιδηρόπουλος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου