Παρασκευή, 28 Νοεμβρίου 2014

Εφαρμογές στην διάδοση θερμότητας

Θα ασχοληθούμε με δύο εφαρμογές. Η πρώτη είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα δοχείο με μονωμένα τοιχώματα που περιέχει μείγμα 2 kg νερού και 0.1 kg πάγου σε θερμοκρασία 273 K. Διοχετεύουμε στο δοχείο ατμό θερμοκρασίας 373 K. Πόσα γραμμάρια ατμού πρέπει να υγροποιηθούν ώστε το μείγμα νερού πάγου να φτάσει σε θερμοκρασία 300 Κ;

Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα αρκεί να σκεφτούμε πως όταν ο ατμός υγροποιείται θερμότητα αποβάλλεται από αυτόν. Η θερμότητα αυτή δεν χάνεται αλλά προσφέρεται στο μείγμα νερού και πάγου. Αν θεωρήσουμε πως η θερμότητα που αποβάλλεται από τον ατμό είναι Q1 και η θερμότητα που απορροφάει το μείγμα νερού και πάγου είναι Q2 τότε ισχύει η σχέση

καθώς το Q1 και Q2 είναι ίσα κατά απόλυτη τιμή αλλά έχουν αντίθετο πρόσημα. Για το Q1 ισχύει
όπου ma η ζητούμενη μάζα του ατμού που υγροποιείται και Ll η θερμότητα υγροποίησης του ατμού. Το Q2 απαρτίζεται από τρεις συνιστώσες. Η πρώτη είναι η θερμότητα που χρειάζεται το νερό για να φτάσει στα 300 Κ και είναι
όπου mw η μάζα του νερού, c η ειδική θερμοχωρητικότητα του νερού, Tfinal η τελική θερμοκρασία του μείγματος και Tinitial η αρχική θερμοκρασία του. Η δεύτερη συνιστώσα είναι η θερμότητα που χρειάζεται ο πάγος για να υγροποιηθεί, η οποία είναι
όπου mi η μάζα του πάγου και Lf η θερμότητα τήξης του πάγου. Η τρίτη συνιστώσα είναι η θερμότητα που χρειάζεται ο υγροποιημένος πάγος (που είναι πλέον νερό) να φτάσει την τελική θερμοκρασία του μείγματος και είναι
Έτσι
Άρα από την εξίσωση (1) έχουμε
Λύνοντας ως προς το ζητούμενο, που είναι η μάζα του ατμού που υγροποιείται ma, παίρνουμε την παρακάτω εξίσωση
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε
Οπότε πρέπει να υγροποιηθούν 0.12 kg ατμού ώστε το μείγμα νερού πάγου να αποκτήσει θερμοκρασία 300 Κ.

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η παρακάτω: Έχουμε έναν τοίχο ο οποίος αποτελείται από δύο στρώματα υλικού (σχήμα 1). Το εξωτερικό στρώμα είναι από ξύλο πάχους 3 cm και το εσωτερικό αποτελείται από φελιζόλ πάχους 5 cm. Η θερμική αγωγιμότητα του ξύλου είναι 0.080 W/mK και του φελιζόλ είναι 0.010 W/mΚ. Η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του τοίχου είναι 0 βαθμοί κελσίου και της εσωτερικής επιφάνειας είναι 30 βαθμοί κελσίου. Να υπολογισθούν τα παρακάτω: α) Η θερμοκρασία στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο στρωμάτων β) Ο ρυθμός ροής της θερμότητας μέσω του τοίχου ανά μονάδα επιφάνειας.
σχήμα 1, φαίνεται ο τοίχος που αποτελείται
από δύο στρώματα. Με την κίτρινη διαγράμ-
μιση φαίνεται το ξύλο ενώ με την κυανή
φαίνεται το φελιζόλ.
α) Σε αυτό το πρόβλημα η θερμότητα ρέει μέσα από δύο στρώματα. Το ποσό θερμότητας dQ που περνάει μέσα από το ξύλο σε χρόνο dt είναι ίσο με το ποσό θερμότητας που περνάει από το φελιζόλ στον ίδιο χρόνο. Άρα και στα δύο στρώματα το θερμικό ρεύμα dQ/dt είναι το ίδιο. Δηλαδή αν το θερμικό ρεύμα που περνάει από το ξύλο είναι H1 και το θερμικό ρεύμα που περνάει από το φελιζόλ είναι H2 τότε ισχύει
Για το H1 ισχύει ο τύπος
όπου kw η θερμική αγωγιμότητα του ξύλου, Α το εμβαδόν του τοίχου, Τ η θερμοκρασία στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο στρωμάτων, Τout η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του τοίχου και Lw το πάχος του στρώματος ξύλου. Για το H2 ισχύει ο τύπος
όπου ks η θερμική αγωγιμότητα του φελιζόλ, Α το εμβαδόν του τοίχου, Τin η θερμοκρασία της εσωτερικής επιφάνειας του τοίχου και Ls το πάχος του στρώματος φελιζόλ. Από την εξίσωση (2) καταλήγουμε στον τύπο
και με πράξεις καταλήγουμε στο ότι
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε
β) Ο ρυθμός ροής της θερμότητας H μέσω του τοίχου είναι ίσος με
αφού ισχύει η (2). Έτσι μπορούμε να γράψουμε χρησιμοποιώντας την (3) (θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και την (4) εναλλακτικά) ότι
Διαιρώντας με το Α για να βρούμε τον ρυθμό ροής της θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας έχουμε
και κάνοντας αντικαταστάσεις ισχύει
Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου