Κυριακή, 9 Νοεμβρίου 2014

Ισχύς στην κυματική κίνηση

Ένα κύμα συνοδεύεται από μεταφορά ενέργειας από μία περιοχή του χώρου σε μία άλλη. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε από τα θαλάσσια τσουνάμι που όταν σπάσουν στην ακτή απελευθερώνουν τεράστια ποσά ενέργειας που μπορεί να αποβούν καταστροφικά. Θα μελετήσουμε τα εγκάρσια κύματα που διαδίδονται σε μία χορδή.

Τι σημαίνει ότι το κύμα μεταφέρει ενέργεια από ένα τμήμα της χορδής σε ένα άλλο και ποιος είναι ο ρυθμός που μεταφέρεται αυτή η ενέργεια;

Κάθε τμήμα ενός μέσου από το οποίο διέρχεται ένα κύμα περιέχει ενέργεια καθώς τα σωματίδια του ταλαντώνονται (η μηχανική ενέργεια κάθε σωματιδίου είναι μέγιστη στην θέση ισορροπίας του και μηδενική στις ακραίες θέσεις). Έτσι η απάντηση στο ερώτημα που θέσαμε είναι η ακόλουθη: Για να παραχθεί ένα κύμα σε ένα μέσο πρέπει να ασκήσουμε δύναμη σε ένα τμήμα του μέσου και επειδή το σημείο στο οποίο θα ασκηθεί η δύναμη θα κινηθεί, κάνουμε έργο πάνω στο σύστημα. Έστω ότι το έργο πάνω στο σύστημα το παράγει ένας μηχανισμός. Συνεπώς, ενέργεια μεταφέρεται από τον μηχανισμό στο σύστημα και αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται (κύμα διαδίδεται στο μέσο), δηλαδή περιέχουν ενέργεια. Επίσης, καθώς ένα κύμα διαδίδεται, κάθε τμήμα του μέσου (το οποίο περιέχει ενέργεια) ασκεί δύναμη και κάνει έργο πάνω σε ένα διπλανό τμήμα. Έτσι, ενέργεια μεταφέρεται από κάθε τμήμα του μέσου στο διπλανό του με αποτέλεσμα να υπάρχει μεταφορά ενέργειας από μία περιοχή του χώρου σε μία άλλη.

Έστω ότι έχουμε μία χορδή πάνω στην οποία διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα. Για να υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταφοράς ενέργειας ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Παίρνουμε, αρχικά, ένα σημείο α πάνω στην χορδή (σχήμα 1).

σχήμα 1, φαίνεται ένα σημείο α πάνω στην χορδή.
Η χορδή έχει μάζα ανά μονάδα μήκους μ και η τάση που ασκείται σε αυτή είναι F. Το τμήμα της χορδής αριστερά του α ασκεί μία δύναμη ίση με την τάση F στο τμήμα της χορδής που βρίσκεται στα δεξιά του α. Στο σχήμα 2 φαίνεται η δύναμη αυτή (την οποία αναλύουμε σε μία οριζόντια και μία κατακόρυφη συνιστώσα) και το δεξί τμήμα της χορδής.

σχήμα 2, φαίνεται η δύναμη F, οι συνιστώσες της και το τμήμα
της χορδής δεξιότερα του α.

Από την γεωμετρία του προβλήματος ισχύει ότι
Το σημείο α κινείται με ταχύτητα uy συνεπώς η δύναμη Fy παράγει έργο πάνω στο σημείο α. Το έργο αυτό είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από το τμήμα της χορδής αριστερά του α στο τμήμα δεξιά του α. Έτσι, εξαιτίας του κύματος ενέργεια μεταφέρεται από το ένα τμήμα της χορδής στο άλλο.

Ο ρυθμός παραγωγής έργου (ισχύς της Fy) είναι ίσος με
Για ένα ημιτονοειδές κύμα ισχύει
όπου Α το πλάτος του κύματος, ω η κυκλική συχνότητα του και k ο κυματαριθμός. Παραγωγίζοντας έχουμε
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις με την (1) έχουμε
Η παραπάνω εξίσωση μας δίνει την στιγμιαία ισχύ σε ένα σημείο του μέσου μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Επίσης, παρατηρούμε ότι
που συνεπάγεται πως στα σημεία που η ισχύς είναι θετική η ενέργεια μεταδίδεται με φορά την φορά διάδοσης του κύματος ενώ στα σημεία που η ισχύς είναι μηδενική δεν έχουμε μετάδοση ενέργειας. Από την (2) έχουμε ότι η μέγιστη ισχύς του κύματος είναι η 
και ότι η μέση ισχύς του κύματος είναι η
η οποία είναι ανάλογη του τετραγώνου του Α και ανάλογη του τετραγώνου της κυκλικής συχνότητας ω.

Ας δούμε τώρα μία εφαρμογή. Έχουμε μία χορδή που έχει τάση F=30 Ν και μάζα ανά μονάδα μήκους μ= 0.3 kg/m. Ένα κύμα που έχει πλάτος Α=0.015 m και κυκλική συχνότητα ω=32 rad/s διαδίδεται πάνω σε αυτή την χορδή. Βρείτε την μέση ισχύ του κύματος.

Για την μέση ισχύ έχουμε

Οπότε η μέση ισχύς του κύματος είναι 0.35 W.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου