Κυριακή, 16 Νοεμβρίου 2014

Συντονισμός κυκλώματος L-R-C σε σειρά

Θα εξετάσουμε την παρακάτω εφαρμογή. Έχουμε το κύκλωμα L-R-C σε σειρά του σχήματος 1. Η αντίσταση του κυκλώματος είναι 500 Ω, το πηνίο έχει αυτοεπαγωγή 1 Η, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα 3 μF και η πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος έχει πλάτος 100 V. Τα ζητούμενα είναι τα εξής: α) Ποια είναι η γωνιακή συχνότητα συντονισμού; β) Να σχεδιαστούν τα περιστρεφόμενα διανύσματα φάσης στην γωνιακή συχνότητα συντονισμού. γ) Ποιες είναι οι ενεργές τιμές των τάσεων ab, bc, cd, bd και ad στην γωνιακή συχνότητα συντονισμού;


σχήμα 1, το κύκλωμα L-R-C σε σειρά.
Η λύση είναι η ακόλουθη:

α) Το πλάτος του ρεύματος Ι γίνεται μέγιστο, δηλαδή έχουμε συντονισμό, όταν έχουμε την ελάχιστη σύνθετη αντίσταση Ζ που τότε ισούται με την αντίσταση R του κυκλώματος. Η γωνιακή συχνότητα που παρατηρείται η μεγιστοποίηση ονομάζεται συχνότητα συντονισμού ω0 και ισούται με την φυσική συχνότητα του συστήματος, δηλαδή
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε

β) Στην συχνότητα συντονισμού η επαγωγική άεργη αντίσταση XL και η χωρητική άεργη αντίσταση XC ισούνται, οπότε έχουμε
Επίσης, για να σχεδιάσουμε τα περιστρεφόμενα διανύσματα του κυκλώματος πρέπει να γνωρίσουμε ότι:
  1. Η τάση στα άκρα του αντιστάτη βρίσκεται σε φάση με το ρεύμα καθώς εκδηλώνουν ταυτόχρονα τα μέγιστα τους.
  2. Η τάση στα άκρα του πηνίου προηγείται κατά 90 μοίρες του ρεύματος.
  3. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή υστερεί κατά 90 μοίρες του ρεύματος.
Άρα η γωνία ανάμεσα στα περιστρεφόμενα διανύσματα του ρεύματος και της τάσης στα άκρα του αντιστάτη είναι 0 μοίρες, η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα του ρεύματος και της τάσης στα άκρα του πηνίου είναι 90 μοίρες με την τάση να προηγείται και η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα του ρεύματος και της τάσης στα άκρα του πυκνωτή είναι 90 μοίρες με το ρεύμα να προηγείται. Ακόμη, λόγω της σχέσης (1) το πλάτος της τάσης στα άκρα του πυκνωτή και στα άκρα του πηνίου είναι ίσα αφού διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα. Το διάγραμμα των περιστρεφόμενων διανυσμάτων είναι το σχήμα 2.

σχήμα 2, το διάγραμμα των περιστρεφόμενων διανυσμάτων.
Πρέπει να σημειωθεί ότι VR είναι το πλάτος της τάσης στα άκρα της αντίστασης, VC είναι το πλάτος της τάσης στα άκρα του πυκνωτή, VL είναι το πλάτος  της τάσης στα άκρα του πηνίου, V είναι το πλάτος στα άκρα της πηγής και Ι είναι το πλάτος του ρεύματος. Επίσης από το σχήμα 2 παρατηρούμε πως το διάνυσμα της τάσης στα άκρα της πηγής ταυτίζεται με το διάνυσμα της τάσης στα άκρα του αντιστάτη. Αυτό συμβαίνει γιατί το διάνυσμα της τάσης στα άκρα της πηγής είναι το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων των τάσεων στα άκρα της αντίστασης, του πυκνωτή και του πηνίου. Όμως τα διανύσματα της τάσης στα άκρα του πηνίου και του πυκνωτή είναι αντίθετα αφού έχουν το ίδιο μέτρο και έτσι έχουμε αυτή την ταύτιση.

γ) Γενικά η σχέση μεταξύ των ενεργών τιμών των τάσεων και των πλατών των τάσεων είναι η
Έτσι χρειάζεται να βρούμε τα πλάτη των τάσεων. Για να τα υπολογίσουμε όμως πρέπει να ξέρουμε την τιμή του πλάτους του ρεύματος, ο υπολογισμός του οποίου γίνεται από τον τύπο
όπου V το πλάτος της τάσης της πηγής. Όμως επειδή είμαστε σε κατάσταση συντονισμού ισχύει
Έτσι, το πλάτος του ρεύματος είναι
Η ενεργός τιμή της τάσης ad στα άκρα της πηγής ισούται εξαιτίας της εξίσωσης (2) με
Η ενεργός τιμή της τάσης ab στα άκρα του αντιστάτη είναι
Η ενεργός τιμή της τάσης bc στα άκρα του πηνίου είναι
Η ενεργός τάση cd στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση με την ενεργό τάση στα άκρα του πηνίου αφού οι τάσεις στα άκρα του πυκνωτή και στα άκρα του πηνίου έχουν το ίδιο πλάτος στον συντονισμό. Έτσι έχουμε
Τέλος, η ενεργός τιμή της τάσης bd είναι
Αυτό συμβαίνει γιατί για τον συντονισμό οποιαδήποτε στιγμή ισχύει ότι
όπου ubc η στιγμιαία τάση στα άκρα του πηνίου και ucd η στιγμιαία τάση στα άκρα του πυκνωτή. Έτσι για την στιγμιαία τάση bd ισχύει
και γι' αυτό η ενεργός τιμή της τάσης bd είναι μηδενική.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου