Τρίτη, 2 Δεκεμβρίου 2014

Κλίση, απόκλιση και περιστροφή

Πολλές φορές στα μαθηματικά χρησιμοποιείται ο τελεστής ανάδελτα. Αυτός ο τελεστής δρα πάνω σε βαθμωτές ή διανυσματικές συναρτήσεις και το αποτέλεσμα αυτής της δράσης μας δίνει πληροφορίες για ορισμένα χαρακτηριστικά τους. Οι βασικές ποσότητες που ορίζονται με την βοήθεια του ανάδελτα είναι η κλίση για βαθμωτές συναρτήσεις και η απόκλιση και περιστροφή για διανυσματικές συναρτήσεις.


Αρχικά, έστω μια βαθμωτή συνάρτηση f(x,y,z) που είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μίας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου. Τότε η κλίση της ορίζεται από την σχέση
Ουσιαστικά η κλίση μίας συνάρτησης είναι μία διανυσματική συνάρτηση η οποία για κάθε σημείο του χώρου μας δίνει πληροφορία για τις μερικές παραγώγους της f. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα: Βρείτε την κλίση της
στο σημείο (1,1,1). Για να βρούμε την κλίση της f αρκεί να υπολογίσουμε τις παρακάτω μερικές παραγώγους:


Έτσι η κλίση της f είναι το διάνυσμα
Στο σημείο (1,1,1) η κλίση της f γίνεται
Οπότε γνωρίζουμε πως στο σημείο αυτό η μερική παράγωγος της f ως προς x είναι ίση με 6, η μερική παράγωγος ως προς y είναι ίση με 4 και η μερική παράγωγος ως προς z είναι ίση με 2.

Έπειτα, έστω μία διανυσματική συνάρτηση V(x,y,z) η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μίας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου. Τότε η απόκλιση της ορίζεται από την σχέση
Παρατηρούμε ότι η απόκλιση είναι βαθμωτό μέγεθος. Για να καταλάβουμε την φυσική της σημασία ας δούμε ένα παράδειγμα από την μηχανική των ρευστών. Η αρχή διατήρησης της συνέχειας σε ένα ρευστό υπαγορεύει πως για το πεδίο ταχυτήτων του V ισχύει
Αυτό σημαίνει πως αν έχουμε ένα παραλληλεπίπεδο μέσα στο ρευστό τότε το ρευστό που εισρέει σε αυτό ισούται με το ρευστό που εκρέει από αυτό. Έτσι αν σε μία διανυσματική συνάρτηση (διανυσματικό πεδίο) η απόκλιση ισούται με μηδέν συνεπάγεται πως όσο πεδίο "εισρέει" μέσα σε ένα παραλληλεπίπεδο, που είναι τοποθετημένο σε ένα σημείο του πεδίου, τόσο πεδίο "εκρέει" από αυτό, ενώ αν είναι διάφορη του μηδενός τότε η ποσότητα του πεδίου που "εισρέει" στο παραλληλεπίπεδο διαφέρει από την ποσότητα του πεδίου που "εκρέει". Στο σχήμα 1 φαίνεται το διανυσματικό πεδίο

σχήμα 1, φαίνεται το παραλληλόγραμμο στο οποίο εισρέει και
εκρέει το πεδίο.
Μπορούμε να δούμε πως στον κύβο που έχει σχεδιαστεί τα διανύσματα που "εισρέουν" σε αυτόν έχουν μικρότερο μέτρο από τα διανύσματα που "εκρέουν" οπότε το συγκεκριμένο διανυσματικό πεδίο πρέπει να έχει απόκλιση διάφορη του μηδενός. Αν υπολογίσουμε την απόκλιση του θα δούμε πως ισούται με 4.

Τέλος, έστω μία διανυσματική συνάρτηση V(x,y,z) η οποία είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μίας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου. Η περιστροφή της ορίζεται από την σχέση

Η περιστροφή μίας διανυσματικής συνάρτησης είναι επίσης μία διανυσματική συνάρτηση. Για να καταλάβουμε την φυσική έννοια της περιστροφής ας φανταστούμε πως "ρίχνουμε" ένα αντικείμενο μέσα στο διανυσματικό πεδίο. Αν το πεδίο αυτό έχει περιστροφή διάφορη του μηδενός τότε το αντικείμενο θα περιστραφεί. Στο σχήμα 2 φαίνεται το διανυσματικό πεδίο

σχήμα 2, φαίνεται ένα κυκλικό αντικείμενο που έχει "πέσει" μέσα
στο πεδίο και τείνει να περιστραφεί δεξιόστροφα.
Μπορούμε να δούμε πως τα διανύσματα πάνω από το κυκλικό αντικείμενο τείνουν να το περιστρέψουν δεξιόστροφα ενώ τα διανύσματα από κάτω του τείνουν να το περιστρέψουν αριστερόστροφα. Όμως επειδή τα διανύσματα από πάνω του έχουν μεγαλύτερο μέτρο επικρατούν και έτσι το αντικείμενο περιστρέφεται δεξιόστροφα που συνεπάγεται ότι η περιστροφή του είναι διάφορη του μηδενός. Αν υπολογίσουμε την περιστροφή αυτού του πεδίου θα δούμε ότι είναι

Πηγή: Εισαγωγή στην θεωρία του δυναμικού, Δημήτριος Ν. Αραμπέλος

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου