Σάββατο, 13 Δεκεμβρίου 2014

Ηλεκτρεγερτική δύναμη σε κυκλώματα

Από την εμπειρία μας ένα κύκλωμα πρέπει να έχει μία πηγή η οποία θα προκαλέσει την κυκλοφορία ρεύματος σε αυτό. Το ηλεκτρικό κύκλωμα είναι τελείως ανάλογο με ένα κλειστό υδραυλικό κύκλωμα. Για να μπορέσει να κινηθεί το νερό κυκλικά πρέπει να υπάρχει μία συσκευή (αντλία) η οποία θα του δίνει ενέργεια. Η πηγή, λοιπόν, παίζει τον ρόλο της αντλίας σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα.

Στην ανάλυση που θα ακολουθήσει θα θεωρήσουμε ότι τα ελεύθερα φορτία είναι θετικά φορτισμένα σε αντίθεση με την πραγματικότητα που τα ελεύθερα φορτία είναι τα ηλεκτρόνια.

Γιατί είναι απαραίτητη η πηγή σε ένα κύκλωμα; Για να διαρρέεται ένας αγωγός από σταθερό ρεύμα πρέπει να είναι μέρος ενός κλειστού βρόγχου (πλήρες κύκλωμα). Ο βρόγχος όμως δεν γίνεται να αποτελείται μόνο από αντιστάσεις. Ο λόγος είναι ο εξής: Όταν το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα τα φορτία διαγράφουν κλειστή διαδρομή μέσα στο κύκλωμα. Οπότε η αρχή της διαδρομής τους ταυτίζεται με το τέλος της και συνεπώς σε αυτά τα σημεία πρέπει να έχουν την ίδια δυναμική ενέργεια. Επίσης, τα φορτία κατά την διαδρομή τους μέσα από τον αντιστάτη του κυκλώματος χάνουν δυναμική ενέργεια. Έτσι πρέπει να υπάρχει μία διάταξη μέσα στο κύκλωμα όπου αυτά κινούνται από θέση χαμηλού δυναμικού σε θέση υψηλού δυναμικού ενάντια στην ηλεκτροστατική δύναμη με αποτέλεσμα να αυξάνεται η δυναμική ενέργεια τους. Αυτή η διάταξη είναι μία πηγή η οποία για να μετακινήσει τα φορτία από χαμηλό σε υψηλό δυναμικό παρέχει σε αυτά ενέργεια. Η ενέργεια αυτή ανά μονάδα φορτίου ονομάζεται ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) και συμβολίζεται με ε.

σχήμα 1, στην περίπτωση ανοικτού κυκλώματος η δύναμη Fn τείνει να μετακινήσει
το φορτίο q προς την διεύθυνση αυξανόμενου δυναμικού και η Fe προς την διεύθυνση
μειωμένου δυναμικού. Έτσι το φορτίο q δεν μετακινείται και δεν υπάρχει ρεύμα.

Ας δούμε τα χαρακτηριστικά μίας πηγής. Έστω η πηγή του σχήματος 1 που βρίσκεται σε κατάσταση ανοικτού κυκλώματος η οποία διατηρεί διαφορά δυναμικού Vab μεταξύ των ακροδεκτών της a και b. Ο ακροδέκτης a ονομάζεται θετικός πόλος και βρίσκεται σε υψηλότερο δυναμικό από τον ακροδέκτη b που ονομάζεται αρνητικός πόλος. Αυτή η διαφορά δυναμικού προκαλεί ηλεκτρικό πεδίο Ε μέσα την πηγή το οποίο έχει φορά από το a προς το b. Συνεπώς κάθε φορτίο υφίσταται την ηλεκτροστατική δύναμη Fe η οποία έχει κατεύθυνση από το a στο b. Πώς όμως η πηγή διατηρεί την διαφορά δυναμικού μεταξύ των πόλων της; Αν στα φορτία μέσα στην πηγή ασκούταν μόνο η ηλεκτροστατική δύναμη τα θετικά φορτία θα πήγαιναν από τον θετικό πόλο στον αρνητικό μέχρι η διαφορά δυναμικού να μηδενιστεί. Η απάντηση είναι η εξής: Η πηγή παρέχει μία ακόμη επίδραση, που την παριστάνουμε με την δύναμη Fn, η οποία ασκείται στα φορτία και έχει κατεύθυνση από το b προς το a (αντίθετα με την φορά της Fe). Συνεπώς τα φορτία παραμένουν ακίνητα. Αυτό συμβαίνει γιατί στην περίπτωση ανοικτού κυκλώματος ισχύει
Οπότε, δεν υπάρχει ροή φορτίου μεταξύ των πόλων της πηγής με αποτέλεσμα η διαφορά δυναμικού της να διατηρείται. Επίσης από αυτό προκύπτει ότι στην περίπτωση ανοικτού κυκλώματος δεν υπάρχει ρεύμα.

Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την ΗΕΔ μίας πηγής στην κατάσταση ανοικτού κυκλώματος ας θεωρήσουμε ότι ένα φορτίο q κινείται από το b στο a μέσα στην πηγή του κυκλώματος του σχήματος 1. Το έργο We που παράγεται από την ηλεκτροστατική δύναμη ισούται με
όπου Vba=-Vab. Έτσι καθώς ισχύει η εξίσωση (1) για ανοικτό κύκλωμα και επειδή οι Fe και Fn έχουν αντίθετη κατεύθυνση, το έργο Wn που παράγει η δύναμη Fn είναι
Το Wn είναι η ενέργεια που προσφέρεται από την πηγή στο φορτίο q κατά την διάρκεια της μετακίνησης του από το b στο a. Η ΗΕΔ ε ορίζεται ως η ενέργεια αυτή ανά μονάδα φορτίου, οπότε
Άρα από την παραπάνω εξίσωση και την εξίσωση (2) ισχύει για ανοικτό κύκλωμα

σχήμα 2, στα φορτία του κυκλώματος ασκείται η ηλεκτροστατική δύναμη Fe
η οποία έχει φορά από το a στο b. Τα φορτία που βρίσκονται στο εξωτερικό
κύκλωμα δέχονται μόνο την επίδραση της ηλεκτροστατικής δύναμης ενώ τα
φορτία που βρίσκονται μέσα στην πηγή δέχονται και μία επιπλέον δύναμη Fn
η οποία τα μετακινεί από το b στο a. Το έργο της Fn κατά την μετακίνηση των
φορτίων από το b στο a είναι η ενέργεια που παρέχεται σε αυτά από την πηγή.
Έστω τώρα ότι συνδέουμε τους πόλους της πηγής με έναν αγωγό αντίστασης R και έτσι έχουμε το κύκλωμα του σχήματος 2. Η διαφορά δυναμικού των πόλων της πηγής προκαλεί ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον αγωγό το οποίο μετακινεί τα φορτία από το a στο b. Κατά συνέπεια προκαλείται ρεύμα από το a στο b μέσα στον αγωγό. Έπειτα, η πηγή μετακινεί τα φορτία από το b που βρίσκεται σε χαμηλό δυναμικό στο a που βρίσκεται σε υψηλό δυναμικό. Έτσι, η κίνηση των φορτίων μέσα στην πηγή προκαλεί ρεύμα μέσα σε αυτή που έχει φορά από το b στο a. Συνεπώς, σταθερό ρεύμα Ι διαρρέει το κύκλωμα που έχει φορά από το a στο b μέσα στον αγωγό και φορά από το b στο a μέσα στην πηγή. Για το ρεύμα Ι, από τον νόμο του Ohm, ισχύει
Η εξίσωση (3) θα συνεχίσει να ισχύει και στην κατάσταση κλειστού κυκλώματος που περιέχει ιδανική πηγή γιατί στην περίπτωση ιδανικής πηγής ισχύει η (1) στην οποία στηρίχτηκε η απόδειξη της εξίσωσης (3). Οπότε από την παραπάνω σχέση και την σχέση (3) καταλήγουμε ότι

Μέχρι τώρα θεωρούσαμε ότι η πηγή μας είναι ιδανική. Η πραγματικότητα όμως δεν είναι αυτή. Όταν τα φορτία διέρχονται μέσα από μία πραγματική πηγή αντιμετωπίζουν ωμική αντίσταση την οποία ονομάζουμε εσωτερική αντίσταση της πηγής και την συμβολίζουμε με r. Το ρεύμα που την διαρρέει δέχεται πτώση δυναμικού κατά Ιr οπότε η διαφορά δυναμικού μεταξύ των πόλων της πηγής γίνεται
Η τάση Vab ονομάζεται πολική τάση της πηγής και είναι μικρότερη από το ε κατά τον παράγοντα Ir.

Αυτό ερμηνεύεται ως εξής: Όταν ένα φορτίο q μετακινείται από το b στο a μέσα σε μία πραγματική πηγή, η δύναμη Fn παράγει έργο qε και η δυναμική ενέργεια του φορτίου q αυξάνεται κατά qVab. Η αύξηση αυτή της δυναμικής ενέργειας είναι μικρότερη από το έργο που προσφέρεται στο φορτίο q από την δύναμη Fn καθώς ένα μέρος της προσφερόμενης ενέργειας στο q χάνεται στην εσωτερική αντίσταση της πηγής.

Από τον νόμο του Ohm για το εξωτερικό κύκλωμα ισχύει
το οποίο συνεπάγεται ότι

Ας δούμε τώρα τρεις εφαρμογές. Η πρώτη αφορά μία πηγή (σχήμα 3) σε ανοικτό κύκλωμα η οποία έχει ΗΕΔ ε=14 V και εσωτερική αντίσταση r=1 Ω. Ζητείται τι ρεύμα την διαρρέει και ποια είναι η πολική της τάση.
σχήμα 3, πηγή με εσωτερική αντίσταση σε ανοικτό κύκλωμα.
Η λύση της παραπάνω εφαρμογής είναι πολύ απλή και είναι η ακόλουθη: Αφού το κύκλωμα είναι ανοικτό το ρεύμα είναι μηδέν (Ι=0 A) και από την σχέση (3) έχουμε

Στην επόμενη εφαρμογή συνδέουμε την ίδια πηγή με αντιστάτη με R=5 Ω (σχήμα 4). Τα ζητούμενα μας είναι ξανά το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και η πολική τάση της πηγής σε αυτή την περίπτωση.

σχήμα 4, πηγή με εσωτερική αντίσταση συνδεδεμένη με αντιστάτη.
Αρχικά βρίσκουμε το ρεύμα Ι από την σχέση (5). Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές παίρνουμε
Η πολική τάση της πηγής δίνεται από τον τύπο (4) και είναι

Η τελευταία εφαρμογή είναι η εξής: Αποσυνδέουμε τον αντιστάτη των 5 Ω και στην θέση του συνδέουμε έναν αγωγό μηδενικής αντίστασης. Και πάλι ζητούμενα είναι το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα και η πολική τάση.
σχήμα 5, βραχυκυκλωμένη πηγή
Αφού τα σημεία a και b συνδέονται με αγωγό μηδενικής αντίστασης έχουν το ίδιο δυναμικό άρα ισχύει Vab=0. Γνωρίζοντας το παραπάνω και χρησιμοποιώντας την σχέση (4) έχουμε

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου