Τετάρτη, 17 Δεκεμβρίου 2014

Υπολογιστική μέθοδος συμβολής θαλάσσιων κυμάτων

Με τον όρο συμβολή δύο κυμάτων (μηχανικών ή ηλεκτρομαγνητικών) εννοούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν δύο ή περισσότερα κύματα διαδίδονται στην ίδια περιοχή του χώρου την ίδια στιγμή. Θα εξετάσουμε την συμβολή θαλάσσιων κυμάτων που είναι μηχανικά κύματα και θα αναπτύξουμε έναν απλό αλγόριθμο που θα μας δώσει μία εικόνα της συμβολής.

Θα θεωρήσουμε πως στην θαλάσσια επιφάνεια υπάρχουν δύο σύγχρονες σημειακές πηγές που παράγουν αρμονικά κύματα. Οι κυματοσυναρτήσεις y1 και y2 αυτών των κυμάτων είναι
όπου Α είναι το πλάτος τους, ω η κυκλική συχνότητα τους, k ο κυματαριθμός, r1 η απόσταση του σημείου, για το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το y1, από την πηγή του πρώτου κύματος και r2 η απόσταση του σημείου, για το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το y2, από την πηγή του δεύτερου κύματος.

Για να βρούμε τις μετατοπίσεις της θαλάσσιας επιφάνειας από την θέση ισορροπίας της εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας η οποία αναφέρει ότι όταν έχουμε αλληλοεπικάλυψη δύο κυμάτων, η μετατόπιση y που προκύπτει σε κάποιο σημείο του μέσου κάποια χρονική στιγμή είναι το άθροισμα των μετατοπίσεων που θα είχαμε αν κάθε κύμα διαδιδόταν μόνο του στο μέσο. Δηλαδή
Έτσι κάνοντας αντικατάσταση τις κυματοσυναρτήσεις y1 και y2 στην παραπάνω σχέση καταλήγουμε ότι για το y ισχύει
Έτσι το ολικό πλάτος κύματος Α' σε ένα σημείο που απέχει απόσταση r1 από την πρώτη πηγή και απόσταση r2 από την δεύτερη πηγή είναι
Τώρα για να μπορέσουμε να απεικονίσουμε οπτικά το αποτέλεσμα της συμβολής θα κατασκευάσουμε έναν απλό αλγόριθμο ο οποίος για ορισμένα σημεία της θαλάσσιας επιφάνειας θα υπολογίζει το ολικό πλάτος κύματος. Ο κώδικας αυτός είναι ο ακόλουθος:

Private Sub Command1_Click()

'δήλωση των μεταβλητών
Dim L As Double, A As Double, lo As Double, pi As Double, Asuper(200, 200) As Double

'εισήγαγε την απόσταση των δύο πηγών
L = Text1.Text
'εισήγαγε το πλάτος κάθε κύματος
A = Text2.Text
'εισήγαγε το μήκος κύματος κάθε κύματος
lo = Text3.Text

'άνοιξε αρχείο για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων
Open "results.txt" For Output As #1

'όρισε τον αριθμό π
pi = 4 * Atn(1)

'βρες τις τετμημένες των δύο πηγών
X1 = -L / 2
X2 = L / 2

'άρχισε επαναληπτική διαδικασία για τον υπολογισμό των συντεταγμένων
'κάθε σημείου του ελαστικού μέσου
For i = 0 To 200
'βρες  την τετμημένη του σημείου (i, j)
x = -50 + i / 2
For j = 0 To 200
'βρες την τεταγμένη του σημείου (i,j)
y = -50 + j / 2
'υπολόγισε την απόσταση του σημείου (i,j) από την πρώτη πηγή
r1 = Sqr((x - X1) ^ 2 + y ^ 2)
'υπολόγισε την απόσταση του σημείου (i,j) από την δεύτερη πηγή
r2 = Sqr((x - X2) ^ 2 + y ^ 2)
'υπολόγισε το ολικό πλάτος κύματος του σημείου (i,j)
Asuper(i, j) = 2 * A * Abs(Cos(pi * (r1 - r2) / lo))
'εκτύπωσε το αποτέλεσμα στο αρχείο
Print #1, x, y, Format(Asuper(i, j), "0.000")
πήγαινε στο επόμενο j
Next j
'πήγαινε στο επόμενο i
Next i

'κλείσε το αρχείο
Close

End Sub

Τι κάνει ακριβώς ο παραπάνω κώδικας; Εισάγουμε σε αυτόν το πλάτος και το μήκος κύματος κάθε επιμέρους κύματος και την απόσταση των σημειακών πηγών μέσω της φόρμας της εικόνας 1. Έπειτα δημιουργεί έναν κάναβο (σχήμα 1) πάνω στην θαλάσσια επιφάνεια το x και το y του οποίου εκτείνονται από το -50 m μέχρι το 50 m και για κάθε σημείο του κανάβου υπολογίζει το ολικό πλάτος κύματος.
εικόνα 1, η φόρμα μέσω της οποίας εισάγονται τα δεδομένα
στον αλγόριθμο.
σχήμα 1, φαίνεται ο κάναβος ο οποίος δημιουργείται από τον αλγόριθμο. Οι διαστάσεις
του είναι 100Χ100.
Τα αποτελέσματα του παραπάνω αλγορίθμου φαίνονται στις εικόνες 2, 3 και 4 όπου για δεδομένη απόσταση πηγών (40 m) και πλάτος κύματος (2 m) υπολογίζουμε το αποτέλεσμα συμβολής. Το μήκος κύματος των κυμάτων είναι διαφορετικό για κάθε εικόνα και αυτός είναι ο λόγος που παίρνουμε διαφορετικές εικόνες συμβολής. Για να γίνει αυτό χαρτογραφούμε το κάθε αρχείο results.txt που προκύπτει από τον αλγόριθμο μέσω του προγράμματος surfer. Στις παρακάτω εικόνες φαίνονται οι καμπύλες μέγιστου πλάτους με έντονο μπλε χρώμα.

εικόνα 2, L=40 m, Α=2 m και λ=20 m

εικόνα 3, L=40 m, A=2 m και λ=30 m

εικόνα 4, L=40 m, A=2 m και λ=40 m


Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου