Σάββατο, 20 Δεκεμβρίου 2014

Βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού

Θα παρουσιάσουμε ορισμένα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού τα οποία παίζουν σημαντικό ρόλο στην μελέτη συναρτήσεων. Αυτά γενικά είναι πολύ απλά και δύσκολα κάποιος υποψιάζεται το πόσο σπουδαία είναι για τον διαφορικό λογισμό.

Ας ξεκινήσουμε με το θεώρημα του Rolle το οποίο διατυπώνεται ως εξής: Έστω μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Αν ισχύει για τα a και b ότι
τότε σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x0 στο διάστημα (a,b) τέτοιο ώστε
Γεωμετρικά τι σημαίνει το παραπάνω θεώρημα; Σημαίνει πως η f είναι μία συνεχής καμπύλη στο [a,b] που θα έχει τουλάχιστον ένα σημείο όπου η εφαπτόμενη σε αυτήν θα έχει μηδενική κλίση (σχήμα 1).

σχήμα 1, η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του Rolle
Ένα παράδειγμα πάνω στο θεώρημα του Rolle είναι το εξής: Έστω η συνάρτηση
Για την συνάρτηση αυτή ισχύει ότι
Οπότε αν εφαρμόσουμε το θεώρημα του Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο (-1,1) ώστε για το x0 να μηδενίζεται η παράγωγος της f. Πράγματι η παράγωγος της f είναι η
η οποία μηδενίζεται όταν x=0. Το 0 ανήκει στο διάστημα (-1,1) άρα το θεώρημα του Rolle επαληθεύεται.

Ένα άλλο βασικό θεώρημα είναι το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού το οποίο αναφέρει το εξής: Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (a,b) τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 στο διάστημα (a,b) ώστε να ισχύει
Η γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η f είναι μία συνεχής καμπύλη που μεταξύ των σημείων (a,f(a)) και (b,f(b)) η κλίση της εφαπτόμενης σε τουλάχιστον ένα σημείο της ισούται με
σχήμα 2, η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού
λογισμού. 
Να σημειωθεί ότι το θεώρημα μέσης τιμής είναι γενίκευση του θεωρήματος του Rolle.

Τέλος ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση
Στο διάστημα [0,4] ισχύει
Άρα από το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 στο διάστημα (0,4) ώστε
Η παράγωγος της f(x) είναι
η οποία γίνεται ίση με 1/2 όταν x=1. Αφού το 1 ανήκει στο διάστημα (0,4) το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού επαληθεύεται.

Πηγή: Πρόσκληση στα μαθηματικά οικονομικών και διοικητικών επιστημών, Μανώλης Λουκάκης

2 σχόλια: