Τρίτη, 23 Δεκεμβρίου 2014

Στάσιμα κύματα και κανονικοί τρόποι ταλάντωσης

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές σχετικές με στάσιμα κύματα και κανονικούς τρόπους ταλάντωσης χορδής. Η πρώτη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε ένα σύρμα μήκους 4 m και πάνω σε αυτό σχηματίζεται ένα στάσιμο κύμα με συχνότητα f=4 Hz. Τα δύο άκρα του σύρματος είναι ακλόνητα και το κύμα σχηματίζει μόνο μία κοιλία. Ζητείται α) η ταχύτητα των κυμάτων u που συμβάλουν για την δημιουργία του στάσιμου κύματος και β) η νέα συχνότητα που πρέπει να ταλαντωθεί το σύρμα ώστε να δημιουργηθεί κοιλία σε απόσταση 1 m από το αριστερό άκρο του σύρματος.


σχήμα 1, φαίνεται ένα στάσιμο κύμα που έχει μία κοιλία (Α) και δύο κόμβους (Ν).
α) Τα δύο άκρα του σύρματος είναι ακλόνητα οπότε σε αυτά τα σημεία έχουμε την δημιουργία κόμβων του στάσιμου κύματος. Επίσης, αφού το στάσιμο κύμα έχει μόνο μία κοιλία έχουμε το στάσιμο κύμα του σχήματος 1 απ' όπου παρατηρούμε ότι η απόσταση των δύο ακραίων κόμβων που είναι λ/2 ισούται με το συνολικό μήκος του σύρματος. Έτσι καταλήγουμε στην παρακάτω ισότητα:
αφού το σύρμα έχει μήκος 4 m. Για να βρούμε την ταχύτητα u των κυμάτων που συμβάλουν και δημιουργούν το στάσιμο κύμα χρησιμοποιούμε τον τύπο
Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε:
β) Εξαιτίας της νέας συχνότητας ταλάντωσης fnew το νέο μήκος κύματος του στάσιμου κύματος είναι λnew. Οπότε η απόσταση ενός κόμβου με την επόμενη από αυτόν κοιλία είναι λnew/4. Έτσι αφού το αριστερό άκρο του σύρματος είναι κόμβος και η επόμενη κοιλία εμφανίζεται σε απόσταση 1 m ισχύει η ισότητα:
Έτσι, χρησιμοποιώντας ξανά την εξίσωση (1) έχουμε
Η ταχύτητα u εξαρτάται από τις μηχανικές ιδιότητες του συστήματος οπότε δεν μεταβάλλεται. Άρα
Συνεπώς, η νέα συχνότητα που πρέπει να ταλαντωθεί το σύρμα είναι 8 Hz. Το στάσιμο κύμα που δημιουργείται από την ταλάντωση του σύρματος σε αυτή την συχνότητα έχει δύο κοιλίες και τρεις κόμβους (σχήμα 2).

σχήμα 2, φαίνεται ένα στάσιμο κύμα που έχει δύο κοιλίες (Α) και τρεις κόμβους (Ν).
Η επόμενη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα έγχορδο μουσικό όργανο και το τμήμα της χορδής (μεταξύ της γέφυρας και του άνω άκρου της ταστιέρας) που είναι ελεύθερο να κινείται έχει μήκος 80 cm. Ο μουσικός όταν παίξει αυτή την χορδή παράγεται η νότα λα που έχει συχνότητα 440 Hz. α) Σε τι απόσταση από την γέφυρα πρέπει ο μουσικός να βάλει το δάκτυλο του ώστε να παίξει την νότα ντο που έχει συχνότητα 528 Hz. Θεωρούμε πως η χορδή και στην νότα λα και στην ντο ταλαντώνεται στον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης. β) Είναι δυνατόν χωρίς νέο κούρδισμα ο μουσικός να παίξει την νότα ρε που έχει συχνότητα 294 Hz;

Η λύση είναι η ακόλουθη: α) Τα δύο άκρα της χορδής είναι κόμβοι του στάσιμου κύματος καθώς η χορδή δεν κινείται σε αυτά τα σημεία. Όταν η χορδή ταλαντώνεται στην συχνότητα της νότας λα η ταλάντωση της γίνεται με θεμελιώδη τρόπο οπότε για το μήκος κύματος λ1 του στάσιμου κύματος που έχει σχηματιστεί πάνω στην χορδή ισχύει ότι
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η χορδή όταν ταλαντώνεται με θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης έχει τη μορφή του σχήματος 1 και ότι το συνολικό μήκος της χορδής είναι 0.8 m.

Έτσι αφού γνωρίζουμε το μήκος κύματος λ1 και την συχνότητα της νότας λα μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα u των κυμάτων που σχηματίζουν το στάσιμο κύμα με την εξίσωση (1). Κάνοντας αντικαταστάσεις έχουμε
Τώρα, αν συμβολίσουμε με x την απόσταση από την γέφυρα που πρέπει να βάλει ο μουσικός το δάκτυλο του για να παίξει την νότα ντο και επειδή τότε η χορδή ταλαντώνεται στον θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης ισχύει
όπου λ2 το μήκος κύματος του στάσιμου κύματος όταν η χορδή ταλαντώνεται στην συχνότητα της νότας ντο. Έτσι γνωρίζοντας πλέον την ταχύτητα που διαδίδονται τα κύματα πάνω στην χορδή και συνδυάζοντας την παραπάνω εξίσωση με την εξίσωση (1) βρίσκουμε ότι για το x ισχύει
όπου f2 η συχνότητα της νότας ντο. Έτσι αφού κάνουμε αντικαταστάσεις έχουμε
Οπότε ο μουσικός πρέπει να τοποθετήσει το δάκτυλο του σε απόσταση 0.66m από την γέφυρα.

β) Το μήκος κύματος λ3 που πρέπει να έχει το στάσιμο κύμα για να ηχήσει η χορδή στην νότα ρε δίνεται πάλι από την εξίσωση (1) και είναι
όπου f3 η συχνότητα της νότας ρε. Έτσι έχουμε
Άρα η ελάχιστη απόσταση που απαιτείται για να ηχήσει η νότα ρε είναι
όταν δηλαδή η χορδή ταλαντώνεται σε θεμελιώδη τρόπο ταλάντωσης. Έτσι αφού αυτή η απόσταση είναι μεγαλύτερη από 0.8 m δεν είναι δυνατό να ηχήσει η νότα ρε σε αυτή την χορδή.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου