Σάββατο, 27 Δεκεμβρίου 2014

Φορτισμένο σωματίδιο ανάμεσα σε οπλισμούς πυκνωτή

Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και ηλεκτρικού φορτίου q, εισέρχεται με ταχύτητα μέτρου u0 σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου Ε, κάθετα στις δυναμικές γραμμές. Το ομογενές ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται μεταξύ των οριζόντιων οπλισμών επίπεδου πυκνωτή, όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι d και το μήκος του κάθε οπλισμού είναι L. Το φορτισμένο σωματίδιο εισέρχεται στο πεδίο από το σημείο Α και εξέρχεται από το σημείο Β. Να υπολογίσετε:


σχήμα 1, το σωματίδιο φορτίου q κινείται μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή.

1) το χρόνο παραμονής του σωματιδίου στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο και να σχεδιάσετε την τροχιά του σωματιδίου στο παραπάνω σχήμα.

2) την κατακόρυφη μετατόπιση του σωματιδίου μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο.

3) την ταχύτητα εξόδου (μέτρο και κατεύθυνση) του φορτισμένου σωματιδίου από το πεδίο.

4) τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β.

Δίνονται m=10-8 kg, q=1 μC, u0=100 m/s, E=100 V/m, d=0.1 m, L=0.2 m. Οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις παραλείπονται.

Ανάλυση του προβλήματος:

Εξαιτίας του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου που υπάρχει στον χώρο μεταξύ των οπλισμών στο φορτίο ασκείται μία ηλεκτροστατική δύναμη F (σχήμα 2) η οποία έχει φορά προς τα κάτω αφού το σωματίδιο είναι θετικά φορτισμένο.

σχήμα 2, φαίνεται η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο και το σύστημα
αναφοράς που επιλέξαμε.
Ορίζοντας ως αρχή του συστήματος αναφοράς το σημείο Α, θετική φορά των x τα δεξιά και θετική φορά των y προς τα κάτω έχουμε το σύστημα αναφοράς του σχήματος 2.

Εξαιτίας της αρχής της επαλληλίας η κίνηση του σώματος μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους κινήσεις:
  1. Κατά τον άξονα των x η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή αφού δεν ασκείται καμία δύναμη πάνω στο σώμα με διεύθυνση αυτή την φορά.
  2. Κατά τον άξονα των y η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη αφού στο σωματίδιο ασκείται η ηλεκτροστατική δύναμη F η οποία έχει φορά προς τα κάτω.
Λύση του προβλήματος:

1) Ο χρόνος παραμονής του σωματιδίου μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο είναι ο χρόνος που χρειάζεται το σωματίδιο να διανύσει το μήκος L των οπλισμών. Αφού η x συνιστώσα της ταχύτητας του u0 είναι πάντα σταθερή ο χρόνος αυτός t1 ισούται με
Για να βρούμε την εξίσωση της τροχιάς του σωματιδίου γράφουμε τις εξισώσεις κίνησης κατά τον άξονα των x και κατά τον άξονα των y. Κατά τον άξονα των x έχουμε
και κατά τον άξονα των y έχουμε
όπου a η επιτάχυνση του σωματιδίου κατά τον άξονα των y. Έτσι κάνοντας απαλοιφή τον χρόνο από τις εξισώσεις (1) και (2) παίρνουμε την παρακάτω εξίσωση
Η εξίσωση (3) είναι εξίσωση παραβολής που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Έτσι η τροχιά του σωματιδίου φαίνεται στο σχήμα 3. Την επιτάχυνση a μπορεί να μην την γνωρίζουμε ακόμη αλλά ξέρουμε ότι είναι ανεξάρτητη του χρόνο αφού το ηλεκτρικό πεδίο είναι ομογενές. 

σχήμα 3, φαίνεται η παραβολική τροχιά του σωματιδίου.

2) Η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο έχει μέτρο
αφού είναι ηλεκτροστατική. Η επιτάχυνση από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα είναι
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε
Από την εξίσωση (3) όταν το σωματίδιο έχει διανύσει οριζόντια απόσταση x=L η κατακόρυφη μετατόπιση του είναι y(L) η οποία υπολογίζεται ως
Έτσι η κατακόρυφη μετατόπιση του σωματιδίου είναι 0.02m .

3) Όταν το σωματίδιο φτάσει στο σημείο B η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας του είναι u0 και η κατακόρυφη συνιστώσα δίνεται από τον τύπο
Έτσι η ταχύτητα u στο σημείο Β έχει μέτρο
και σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα των x που δίνεται από τον τύπο
4) Η διαφορά δυναμικού Vab μεταξύ των σημείων Α και Β υπολογίζεται ως εξής

Θέμα 21056 Δ. της τράπεζας θεμάτων της φυσικής προσανατολισμού της Β λυκείου

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου