Δευτέρα, 29 Δεκεμβρίου 2014

Ελάχιστα και μέγιστα παραβολών

Θα μελετήσουμε πότε μία παραβολή παρουσιάζει ένα ελάχιστο ή ένα μέγιστο και σε ποίο σημείο του πεδίου ορισμού της παρουσιάζεται αυτό. Παραβολή είναι μία συνάρτηση που έχει την μορφή
όπου a, b, c σταθερές και α≠0.


Για να δούμε πότε η f(x) παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο θα κάνουμε μελέτη μονοτονίας δηλαδή θα μελετήσουμε τα διάφορα πρόσημα της παραγώγου της. Η παράγωγος της f(x) είναι η
η οποία είναι μία γραμμική συνάρτηση. Η ρίζα της είναι η
Έτσι στο x0 βρίσκεται η πιθανή θέση του μεγίστου ή ελαχίστου. Τώρα αν είναι ελάχιστο ή μέγιστο εξαρτάται από το πρόσημο του a. Έτσι διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1) Αν a>0 τότε η παράγωγος της f(x) έχει αρνητικό πρόσημο για x<x0 και θετικό πρόσημο για x>x0. Έτσι η f(x) είναι φθίνουσα για x<x0 και αύξουσα για x>x0. Οπότε στο x0 παρουσιάζεται ολικό ελάχιστο.

Στο σχήμα 1 φαίνεται μία παραβολή για την οποία ισχύει a>0. Παρατηρούμε ότι όταν μηδενίζεται η παράγωγος της παραβολής η παραβολή παρουσιάζει ελάχιστο.
σχήμα 1, φαίνεται μία παραβολή (μπλε γραμμή) για την οποία ισχύει a>0 και
η παράγωγος της (κόκκινη γραμμή).
2) Αν a<0 τότε η παράγωγος της f(x) έχει θετικό πρόσημο για x<x0 και αρνητικό πρόσημο για x>x0. Έτσι η f(x) είναι αύξουσα για x<x0 και φθίνουσα για x>x0. Οπότε στο x0 παρουσιάζεται ολικό μέγιστο.

Στο σχήμα 2 φαίνεται μία παραβολή για την οποία ισχύει a<0. Παρατηρούμε ότι όταν μηδενίζεται η παράγωγος της παραβολής η παραβολή παρουσιάζει μέγιστο.
σχήμα 2, φαίνεται μία παραβολή (μπλε γραμμή) για την οποία ισχύει a<0 και
η παράγωγος της (κόκκινη γραμμή).
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ο τύπος που δίνει την εξίσωση τροχιάς ενός σώματος που βάλλεται μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο υπό αρχική γωνία a0 και αρχική ταχύτητα u0 είναι ο
Προϋπόθεση για τον παραπάνω τύπο είναι το σώμα στην αρχή του χρόνου να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων του συστήματος αναφοράς. Παρατηρούμε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι εξίσωση παραβολής με
Έτσι το μέγιστο ύψος του σώματος εμφανίζεται όταν x=x0 με

και θέτοντας το x0 στην συνάρτηση τροχιάς υπολογίζουμε το μέγιστο ύψος ως:

Επίσης η ύπαρξη μέγιστου ύψους επαληθεύεται από το γεγονός ότι a<0. Η τροχιά στην περίπτωση αυτή φαίνεται στο σχήμα 3.

σχήμα 3, η τροχιά ενός σώματος μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο.

2 σχόλια:

  1. Πολύ ωραίο αγαπητέ Βαγγέλη, συνδυάζει την μαθηματική ανάλυση και την εφαρμογή της στις βολές. Τα σχήματα είναι όμορφα, επεξηγηματικά και οι εξισώσεις ευδιάκριτες. Μπράβο !

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ! Πληροφοριακά τα σχήματα τα έκανα στον σύνδεσμο: http://rechneronline.de/function-graphs/

      Διαγραφή