Σάββατο, 6 Δεκεμβρίου 2014

Γήινο πεδίο βαρύτητας και η σχέση του με το ορθομετρικό υψόμετρο

Όταν αφήσουμε ένα αντικείμενο ελεύθερο τότε αυτό πέφτει. Αυτή η πρόταση είναι κάτι αυτονόητο και πολύ λογικό. Που οφείλεται όμως η ελεύθερη πτώση ενός σώματος και ποια δύναμη την προκαλεί; Και επίσης που είναι η σχέση αυτής της δύναμης με το υψόμετρο του σώματος; Αυτά τα ερωτήματα θα εξετάσουμε παρακάτω.

Κάθε σώμα που περιστρέφεται μαζί με την γη υπόκεινται στην φυγόκεντρη δύναμη εξαιτίας της περιστροφής της γης και στην ελκτική δύναμη λόγω της μάζας της γης. Η συνιστώσα αυτών των δυνάμεων για μοναδιαία μάζα ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας. Μετριέται σε gal προς τιμή του Γαλιλαίου ή σε m/s2. Η τιμή της βαρύτητας εξαρτάται από τον θέση μας. Στην επιφάνεια της γης κυμαίνεται από 9.780  m/s2 στον ισημερινό μέχρι 9.806 m/s2 στους πόλους.

Το δυναμικό της βαρύτητας W είναι συνάρτηση της θέσης και σε κάθε σημείο δίνεται από τον τύπο
όπου V είναι το ελκτικό δυναμικό και Φ το φυγόκεντρο δυναμικό. Το W συνδέεται με την επιτάχυνση της βαρύτητας g με τον τύπο
Για λόγους απλότητας το δυναμικό της βαρύτητας αναλύεται στο κανονικό δυναμικό U και στο διαταρακτικό δυναμικό Τ, οπότε
To U υπολογίζεται βάσει ενός γεωδυναμικού μοντέλου, ενώ το Τ συνδέεται με τις παραμέτρους που σχετίζονται με το πεδίο βαρύτητας. Αν χρησιμοποιήσουμε μία σφαιρική προσέγγιση ισχύει
Οι επιφάνειες που έχουν σταθερό δυναμικό W(x,y,z)=C ονομάζονται ισοδυναμικές επιφάνειες. Είναι κλείστες επιφάνειες και μαθηματικά πολύπλοκες. Επίσης δεν παράλληλες μεταξύ τους. Το γεωειδές ταυτίζεται με μία συγκεκριμένη ισοδυναμική επιφάνεια W0.

Αν θεωρήσουμε μια στοιχειώδη μετατόπιση dx=(dx,dy,dz) μέσα στο γήινο πεδίο βαρύτητας τότε η αντίστοιχη διαφορά δυναμικού θα είναι
Αν η μετατόπιση γίνει πάνω στην ισοδυναμική επιφάνεια τότε dW=0 δηλαδή
Αυτό σημαίνει πως τα δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, οπότε η διεύθυνση της βαρύτητας είναι κάθετη σε κάθε σημείο της ισοδυναμικής επιφάνειας.

Οι χωρικές γραμμές που τέμνουν κάθετα τις ισοδυναμικές επιφάνειες ονομάζονται δυναμικές γραμμές. Συνεπώς, η διεύθυνση της κατακορύφου σε κάθε σημείο είναι εφαπτόμενη στην δυναμική γραμμή.
σχήμα 1, φαίνονται οι δυναμικές και ισοδυναμικές γραμμές του
γήινου πεδίου βαρύτητας.
Το ορθομετρικό υψόμετρο μετριέται κατά μήκος μίας δυναμικής γραμμής και έχει ως αφετηρία το γεωδειδές. Αν έχουμε μία στοιχειώδη μετατόπιση |dx|=dH κατά μήκος της δυναμικής γραμμής και με φορά αντίθετη της φοράς της κατακορύφου ισχύει
Η παραπάνω σχέση είναι σημαντική γιατί συνδέει μία γεωμετρική ποσότητα όπως το ορθομετρικό υψόμετρο με μία φυσική ποσότητα όπως η διαφορά δυναμικού. Επειδή το g μεταβάλλεται πάνω σε μία ισοδυναμική επιφάνεια και το dW είναι σταθερό το dH μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα του g. Το παραπάνω συνεπάγεται πως οι ισοδυναμικές γραμμές δεν είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Πηγή: Γεωμετρική γεωδαισία θεωρία και πράξη, Αριστείδης Φωτίου

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου