Κυριακή, 7 Δεκεμβρίου 2014

Μέση και στιγμιαία ταχύτητα

Στην καθημερινότητα μας χρησιμοποιούμε τον όρο ταχύτητα για να περιγράψουμε πόσο γρήγορα κινείται ένα αντικείμενο. Για παράδειγμα λέμε ότι η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου είναι 100 km/h. Αυτή η ταχύτητα αναφέρεται σε ένα χρονικό διάστημα ή σε μία στιγμή; Δηλαδή είναι μέση ή στιγμιαία ταχύτητα;

Αρχικά ας ορίσουμε την έννοια της μέσης ταχύτητας. Μέση ταχύτητα ενός σώματος σε ένα χρονικό διάστημα είναι μία διανυσματική ποσότητα που η x συνιστώσα της είναι η μεταβολή του x του σώματος μέσα σε ένα χρονικό διάστημα προς το χρονικό διάστημα αυτό. Ομοίως ορίζονται και οι υπόλοιπες συνιστώσες της. Ας δούμε το σώμα του σχήματος 1 για να καταλάβουμε τον παραπάνω ορισμό.
σχήμα 1, το σώμα μετακινείται από το σημείο P1 με συντεταγμένη x1 στο σημείο
P2 με συντεταγμένη x2.
Την χρονική στιγμή t1 το σώμα που κινείται πάνω στον άξονα x βρίσκεται στο σημείο P1 που έχει συντεταγμένη x1 ενώ την χρονική στιγμή t2 βρίσκεται στο σημείο P2 που έχει συντεταγμένη x2. Η μεταβολή του x μέσα στο χρονικό διάστημα t2-t1 είναι x2-x1 οπότε η x συνιστώσα της μέσης ταχύτητας είναι
Επίσης η μέση ταχύτητα είναι ένα διάνυσμα που έχει κατεύθυνση από το P1 στο P2. Αφού οι υπόλοιπες συνιστώσες της μέσης ταχύτητας είναι μηδέν (καθώς το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση πάνω στον άξονα x) η μέση ταχύτητα uav ταυτίζεται με την x-συνιστώσα της, uav-x. Ακόμη, στην περίπτωση κίνησης πάνω στον άξονα των x μπορεί η uav και η uav-x να είναι αρνητικές. Αυτό συμβαίνει όταν x2<x1 δηλαδή όταν το σώμα κινείται προς τα αριστερά.

Στο σχήμα 2 έχουμε την καμπύλη x(t), δηλαδή το διάγραμμα της θέσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου. Πρέπει να τονισθεί πως η καμπύλη αυτή δεν είναι η τροχιά του σώματος καθώς το σώμα κινείται ευθύγραμμα.
σχήμα 2, το διάγραμμα της θέσης του σώματος συναρτήσει του χρόνου.
Από την εξίσωση (1) βλέπουμε ότι η μέση ταχύτητα είναι ο λόγος Δx/Δt δηλαδή είναι η κλίση της ευθείας a1a2 όπου a1 είναι το σημείο του διαγράμματος x-t που αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή t1 και στην θέση x1 και a2 είναι το σημείο που αντιστοιχεί στην στιγμή t2 και στην θέση x2.

Έπειτα, ας ορίσουμε την έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας δηλαδή την ταχύτητα για μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Έστω ένα σώμα που κινείται πάνω στον άξονα x. Αυτή την φορά θεωρούμε πως το χρονικό διάστημα Δt στο οποίο γίνεται η αντίστοιχη μεταβολή Δx της συντεταγμένης x του σώματος είναι πολύ μικρό (τείνει στο μηδέν), δηλαδή
Έτσι ως x συνιστώσα της στιγμιαίας ταχύτητα ορίζουμε το όριο της εξίσωσης (1) όταν το Δt τείνει στο μηδέν, οπότε
Όπως η μέση ταχύτητα, έτσι και η στιγμιαία ταχύτητα είναι διάνυσμα που στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης πάνω στον άξονα x έχει διεύθυνση την διεύθυνση του άξονα x και φορά την φορά κίνησης του σώματος. Επίσης αφού το σώμα κινείται πάνω στον άξονα x η στιγμιαία ταχύτητας u του σώματος ταυτίζεται με την x συνιστώσα της, ux.

Στο σχήμα 3 έχουμε πάλι την καμπύλη x(t) του σώματος.
σχήμα 3, η στιγμιαία ταχύτητα στο σημείο a1 ισούται με την κλίση της καμπύλης
x(t) στο σημείο αυτό.
Από την εξίσωση (2) βλέπουμε πως η στιγμιαία ταχύτητα ισούται με την παράγωγο της καμπύλης x(t). Συνεπώς στο διάγραμμα x-t η στιγμιαία ταχύτητα σε ένα σημείο a(που αντιστοιχεί στην θέση x1 και στην χρονική στιγμή t1) είναι η κλίση της εφαπτόμενης της καμπύλης σε αυτό το σημείο. Αν η εφαπτόμενη έχει θετική κλίση τότε το σώμα κινείται προς τα δεξιά ενώ αν έχει αρνητική κλίση τότε το σώμα κινείται προς τα αριστερά. Αν η κλίση είναι μηδενική τότε το σώμα δεν κινείται.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου