Κυριακή, 4 Ιανουαρίου 2015

Κάτοπτρα και φωτεινή πηγή

Θα εξετάσουμε μία εφαρμογή σχετική με ένα σύστημα δύο κατόπτρων. Έχουμε το ομοαξονικό κατοπτρικό σύστημα του σχήματος 1 που αποτελείται από ένα κυρτό και ένα κοίλο κάτοπτρο. Η μεταξύ τους απόσταση είναι L=0.6 m . Η ακτίνα καμπυλότητας και των δύο κατόπτρων έχει απόλυτη τιμή R=0.4 m . Τοποθετούμε σε απόσταση x από το κοίλο κάτοπτρο μία πηγή φωτός S όπως φαίνεται στο σχήμα 1. a) Για ποια τιμή του x οι ακτίνες, που προέρχονται από την φωτεινή πηγή, ανακλώνται πρώτα στο κοίλο, μετά στο κυρτό κάτοπτρο και έπειτα προσπίπτουν πάλι στην πηγή; b) Για ποια τιμή του x οι ακτίνες ανακλώνται πρώτα στο κυρτό, μετά στο κοίλο κάτοπτρο και έπειτα προσπίπτουν στην πηγή;

Η λύση του a ερωτήματος είναι η ακόλουθη:

σχήμα 1, ομοαξονικό κατοπτρικό σύστημα. Τα κάτοπτρα διαχωρίζονται από
απόσταση L.
Αρχικά οι ακτίνες που προέρχονται από το S ανακλώνται στο κοίλο κάτοπτρο και ως αποτέλεσμα δημιουργείται το πραγματικό είδωλο S'. Δηλαδή για την ανάκλαση στο κοίλο κάτοπτρο ισχύει ότι το S' είναι το είδωλο του S. Έπειτα οι ακτίνες αυτές ανακλώνται από το κυρτό κάτοπτρο οπότε δημιουργούν ένα πραγματικό είδωλο που ταυτίζεται με το S (σχήμα 2). Θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή ότι το είδωλο S' παίζει τον ρόλο του αντικειμένου για το κυρτό κάτοπτρο και συνεπώς το αντικείμενο του ειδώλου S είναι το S' για το κυρτό κάτοπτρο.

σχήμα 2, η πορεία των φωτεινών ακτίνων θεωρώντας ότι ανακλώνται πρώτα στο
κοίλο κάτοπτρο.
Θέτουμε την απόσταση του S' από το κοίλο κάτοπτρο ως D. Πρέπει να καθορίσουμε τα πρόσημα ορισμένων ποσοτήτων. Αφού το κέντρο καμπυλότητας του κοίλου κατόπτρου βρίσκεται την ίδια πλευρά του κατόπτρου με το εξερχόμενο φως από την πρώτη ανάκλαση θεωρούμε ότι η ακτίνα καμπυλότητας του R είναι θετική. Καθώς το είδωλο S' βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κοίλου κατόπτρου με το εξερχόμενο από το κάτοπτρο φως η απόσταση D λαμβάνεται ως θετική και επειδή το αντικείμενο S βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κοίλου κατόπτρου με το προσπίπτον στο κάτοπτρο φως η απόσταση x είναι θετική. Έτσι για την πρώτη ανάκλαση ισχύει ο τύπος
Η απόσταση του S' από το κυρτό κάτοπτρο είναι D-L. Όμως επειδή το αντικείμενο S' δεν βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κυρτού κατόπτρου με το προσπίπτον σε αυτό φως θεωρούμε την απόσταση αυτή αρνητική και συνεπώς την γράφουμε L-D. Έπειτα η απόσταση του S από το κάτοπτρο είναι L-x και είναι θετική καθώς το S είναι στην ίδια πλευρά του κυρτού κατόπτρου με το εξερχόμενο φως. Και τέλος το κέντρο καμπυλότητας του κυρτού κατόπτρου δεν είναι στην ίδια πλευρά με το εξερχόμενο φως και έτσι η ακτίνα καμπυλότητας του είναι αρνητική και την γράφουμε -R. Οπότε για την δεύτερη ανάκλαση ισχύει ο τύπος
Οι εξισώσεις (1) και (2) αποτελούν ένα σύστημα το οποίο λύνοντας το μας δίνει την ζητούμενη τιμή του x. Κάνοντας αριθμητικές αντικαταστάσεις έχουμε το παρακάτω σύστημα

Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι x=0.276 m . Οπότε η φωτεινή πηγή S πρέπει να τοποθετηθεί 0.276 m αριστερά από το κοίλο κάτοπτρο.

Για το b ερώτημα ακολουθούμε αντίστοιχο συλλογισμό. Αρχικά οι ακτίνες που προέρχονται από το S ανακλώνται στο κυρτό κάτοπτρο και προκύπτει το φανταστικό είδωλο S'. Δηλαδή για την ανάκλαση στο κυρτό κάτοπτρο ισχύει ότι το S' είναι το είδωλο του S. Μετά οι ακτίνες αυτές ανακλώνται στο κοίλο κάτοπτρο οπότε δημιουργούν ένα πραγματικό είδωλο που συμπίπτει με το S (σχήμα 3). Όπως και πριν θα χρησιμοποιήσουμε την αρχή ότι το είδωλο S' παίζει τον ρόλο του αντικειμένου για το κοίλο κάτοπτρο και συνεπώς το αντικείμενο του ειδώλου S είναι το S' για το κοίλο κάτοπτρο.

σχήμα 3,  η πορεία των φωτεινών ακτίνων θεωρώντας ότι ανακλώνται πρώτα στο
κυρτό κάτοπτρο.
Πρέπει όμως πρώτα να εξετάσουμε τα πρόσημα των αποστάσεων και των ακτίνων καμπυλότητας. Η ακτίνα καμπυλότητας του κυρτού κατόπτρου είναι αρνητική αφού το κέντρο καμπυλότητας του δεν βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το εξερχόμενο φως από την ανάκλαση. Άρα γράφουμε την ακτίνα -R. Έπειτα η απόσταση του S' από το κυρτό κάτοπτρο είναι D-L και είναι αρνητική επειδή το είδωλο S' δεν βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το εξερχόμενο φως από την ανάκλαση. Οπότε την απόσταση αυτή την γράφουμε L-D. Η απόσταση του S από το κυρτό κάτοπτρο είναι L-x και είναι θετική αφού το S βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το προσπίπτον σε αυτό φως. Έτσι για την πρώτη ανάκλαση ισχύει ο τύπος (2).

Ας δούμε τι ισχύει για την δεύτερη ανάκλαση. Η ακτίνα καμπυλότητας R του κοίλου κατόπτρου είναι θετική αφού το εξερχόμενο φως από την ανάκλαση βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το κέντρο καμπυλότητας του. Ακόμη η απόσταση του S' από το κοίλο κάτοπτρο D είναι θετική αφού αυτό βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το προσπίπτον σε αυτό φως. Τέλος η απόσταση του S από το κάτοπτρο x είναι θετική αφού το S βρίσκεται στην ίδια πλευρά του κατόπτρου με το εξερχόμενο φως. Οπότε για την δεύτερη ανάκλαση ισχύει ο τύπος (1).

Συνεπώς έχουμε να επιλύσουμε το ίδιο σύστημα και η λύση του είναι x=0.276 m . Αυτό δεν θα έπρεπε να μας ξαφνιάζει γιατί δεν παίζει ρόλο στην τοποθέτηση της φωτεινής πηγής αν οι ακτίνες θα ανακλαστούν πρώτα από το κυρτό ή κοίλο κάτοπτρο.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου