Παρασκευή, 16 Ιανουαρίου 2015

Αδιαβατικές μεταβολές σε ιδανικό αέριο

Αδιαβατική μεταβολή είναι μία μεταβολή στην οποία δεν υπάρχει διάδοση θερμότητας μεταξύ του συστήματος και του περιβάλλοντος του. H αδιαβατική μεταβολή είναι κάτι το ιδανικό αφού πάντα υπάρχει διάδοση θερμότητας μεταξύ του περιβάλλοντος και του συστήματος. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε ότι έχουμε μία κατά προσέγγιση αδιαβατική μεταβολή όταν το σύστημα είναι μονωμένο ή όταν η μεταβολή γίνεται πολύ γρήγορα ώστε να μην υπάρξει χρόνος για διάδοση της θερμότητας.

Από τον ορισμό της αδιαβατική μεταβολής έχουμε ότι σε μία απειροστή αδιαβατική μεταβολή η θερμότητα dQ που απορροφά ή αποβάλλει το ιδανικό αέριο είναι μηδενική, δηλαδή ισχύει
και συνεπώς από το πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα έχουμε
όπου dU η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του ιδανικού αερίου και dW το έργο που παράγει.

σχήμα 1, με κόκκινη γραμμή αντιπροσωπεύεται η αδιαβατική μεταβολή ενός
ιδανικού αερίου και με μπλε γραμμές οι ισόθερμες καμπύλες. Το σημείο a είναι
η αρχική κατάσταση του ιδανικού αερίου και το σημείο b είναι η τελική του
κατάσταση.
Στο σχήμα 1 έχουμε μία αδιαβατική μεταβολή ενός ιδανικού αερίου το οποίο εκτονώνεται από όγκο Va σε όγκο Vb με αποτέλεσμα να παράγει θετικό έργο. Αφού παράγει έργο, η εσωτερική του ενέργεια μειώνεται οπότε πέφτει η θερμοκρασία του. Το σημείο a του σχήματος 1 αντιπροσωπεύει την αρχική κατάσταση του ιδανικού αερίου που έχει θερμοκρασία T+dT και το σημείο b αντιπροσωπεύει την τελική κατάσταση στην οποία το ιδανικό αέριο έχει θερμοκρασία T. Παρατηρούμε ότι η αδιαβατική καμπύλη έχει μεγαλύτερη κλίση σε κάθε σημείο από την ισόθερμη που διέρχεται από το ίδιο σημείο.

Θα εξάγουμε μία σχέση που συνδέει την μεταβολή όγκου dV και την μεταβολή πίεσης dp σε μία απειροστή αδιαβατική μεταβολή. Η εξίσωση
μας δίνει την μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας dU ενός ιδανικού αερίου για οποιαδήποτε θερμοδυναμική μεταβολή, όπου Cv είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο, n ο αριθμός των mols του ιδανικού αερίου και dT η μεταβολή της θερμοκρασίας. Επίσης από την εξίσωση
παίρνουμε το έργο dW που παράγεται κατά την διάρκεια μίας απειροστής μεταβολής ενός συστήματος κατά την διάρκεια της οποίας η πίεση στο σύστημα είναι p. Έτσι συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1), (2) και (3) καταλήγουμε ότι ισχύει
Έπειτα χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων
(όπου R η σταθερά των ιδανικών αερίων) έχουμε ότι
Ισχύει όμως ότι
όπου γ μία σταθερά. Οπότε έχουμε
Το γ-1 είναι πάντα θετικό οπότε πάντα το dT και το dV έχουν πάντα αντίθετα πρόσημα. Οπότε επιβεβαιώνεται η υπόθεση μας ότι η αδιαβατική εκτόνωση ενός ιδανικού αερίου συνεπάγεται την πτώση της θερμοκρασίας του.

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (4) παίρνουμε μία εξίσωση για πεπερασμένες μεταβολές θερμοκρασίας και όγκου η οποία είναι
όπου C μία σταθερά. Οπότε για αρχική κατάσταση (T1, V1) και τελική κατάσταση (T2, V2) ισχύει

Μπορούμε να εξάγουμε και μία σχέση πίεσης και όγκου συνδυάζοντας την καταστατική εξίσωση με την εξίσωση (5) και απαλείφοντας το Τ. Η σχέση είναι η
όπου C' μία άλλη σταθερά. Για αρχική κατάσταση (p1, V1) και τελική κατάσταση (p2, V2) έχουμε

Γνωρίζουμε ότι σε μία αδιαβατική μεταβολή ισχύει
Επίσης αν T1 και T2 η αρχική και η τελική θερμοκρασία αντίστοιχα της μεταβολής έχουμε ότι
Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε ότι
Συνδυάζοντας αυτή την εξίσωση με την καταστατική εξίσωση έχουμε

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου