Κυριακή, 18 Ιανουαρίου 2015

Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου

Θα δούμε τρεις εφαρμογές που σχετίζονται με το έργο που παράγει μία δύναμη μεταβλητού μέτρου αλλά σταθερής διεύθυνσης. Η πρώτη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε μία κυλινδρική δεξαμενή με ακτίνα 3 m και ύψος 10 m η οποία είναι γεμάτη με νερό. Θέλουμε να αντλήσουμε το νερό αυτό από το πάνω μέρος της δεξαμενής. Βρείτε το έργο που πρέπει να παράγει η αντλία δεδομένου ότι το ειδικό βάρος του νερού είναι w=9800 N/m3 .


σχήμα 1
Για να υπολογίσουμε το έργο που παράγει η αντλία θα θεωρήσουμε ότι το νερό ανυψώνεται στο πάνω μέρος της δεξαμενής με ένα έμβολο (σχήμα 1). Αν το έμβολο βρίσκεται σε ύψος y από την βάση της δεξαμενής το νερό που βρίσκεται από πάνω του έχει βάρος 6πw(10-y). Οπότε το έμβολο ασκεί δύναμη μέτρου 6πw(10-y) στο νερό με φορά προς τα πάνω. Αν το έμβολο μετακινηθεί κατά dy τότε το έργο dW που παράγεται κατά την διάρκεια αυτής της στοιχειώδους μετατόπισης είναι
Οπότε για να βρούμε το συνολικό έργο W κατά την μετατόπιση του εμβόλου από y=0 σε y=10 ολοκληρώνουμε την παραπάνω σχέση και έχουμε

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η εξής: Έχουμε ένα καλώδιο μήκους 200 m με βάρος ανά μονάδα μήκους 4 N/m το οποίο ανυψώνει ένα σώμα βάρους 400 N. Θέλουμε με ένα τύμπανο να τυλίξουμε τα 100 m του καλωδίου. Πόσο έργο χρειάζεται να παράγουμε κατά την διάρκεια του τυλίγματος.

Έστω ότι έχουμε τυλίξει x μέτρα καλωδίου. Το σύρμα που δεν έχει τυλιχθεί έχει μήκος 200-x. Οπότε το βάρος του συστήματος είναι
Οπότε το έργο dW που πρέπει να παράγουμε για να τυλίξουμε dx μέτρα σύρματος είναι
Ολοκληρώνουμε την παραπάνω σχέση και έχουμε
Συνεπώς το έργο που πρέπει να παράγουμε είναι 105 J

Η τρίτη και τελευταία εφαρμογή αφορά το έργο που παράγεται από διαστολή αερίου. Έστω ότι έχουμε ένα κύλινδρο που μέσα σε αυτό βρίσκεται ένα αέριο του οποίου η διαστολή προξενεί την μετακίνηση ενός εμβόλου. Αν ο όγκος του αερίου αυξάνει από 300 σε 500 cm3 και η σχέση πίεσης όγκου είναι
όπου το p είναι σε μονάδες N/m2 και το V σε cm3 βρείτε το έργο που παράγεται κατά την διαστολή αυτή.

Αν Α είναι το εμβαδόν του εμβόλου η δύναμη που ασκείται πάνω στο έμβολο είναι pA. Αν ο όγκος αυξηθεί κατά dV το έμβολο μετακινείται κατά dV/A. Το έργο που παράγεται κατά την μετακίνηση αυτή είναι
Συνεπώς το έργο που παράγεται είναι

Πηγή: Γενικά μαθηματικά Frank Ayres

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου