Σάββατο, 24 Ιανουαρίου 2015

Σύμφωνες πηγές και συμβολή

Θα αναλύσουμε το πείραμα του Thomas Young (double slit experiment) που αφορά την συμβολή από δύο πηγές και έπειτα θα εξάγουμε τις βασικές σχέσεις το διέπουν. Ουσιαστικά αυτό το πείραμα επιβεβαίωσε ότι η μία από τις δύο φύσεις του φωτός είναι η κυματική. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Young φαίνεται στο σχήμα 1.


σχήμα 1, φαίνεται η πειραματική διάταξη του Thomas Young με την βοήθεια της οποίας επιτυγχάνεται συμβολή μεταξύ των δύο κυμάτων φωτός που εξέρχονται από τις σχισμές S1 και S2. Ένα διαμόρφωμα, όπου έχουμε διαδοχή φωτεινών και σκοτεινών λωρίδων (κροσσών), εμφανίζεται στο πέτασμα.

σχήμα 2, τα κύματα που αναδύονται από τις πηγές S1 και S2 συμβάλουν στο
σημείο P όπου δεν βρίσκονται υποχρεωτικά σε φάση.                                        

Πώς λειτουργεί αυτή η διάταξη; Από την σχισμή S0 πηγάζει μονοχρωματικό φως το οποίο πέφτει πάνω στο πέτασμα που έχει τις σχισμές S1 και S2. Από την αρχή του Huygens γνωρίζουμε πως από την σχισμή S0 θα εκκινήσουν κυλινδρικά μέτωπα φωτός τα οποία φτάνουν στις σχισμές S1 και S2 με την ίδια φάση καθώς διανύουν ίσες αποστάσεις από την S0. Έτσι από τις πηγές S1 και S2 αναδύονται κύματα τα οποία είναι πάντοτε σε φάση, δηλαδή οι πηγές S1 και S2 είναι σύμφωνες. Όμως τα κύματα αυτά δεν φτάνουν απαραίτητα σε φάση στο σημείο P εξαιτίας της διαφοράς δρόμου μεταξύ των κυμάτων r2-r1 (σχήμα 2).

Για να κάνουμε τα πράγματα πιο απλά, υποθέτουμε ότι η απόσταση R μεταξύ των σχισμών και του πετάσματος είναι πολύ μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των σχισμών d. Το αποτέλεσμα αυτής της παραδοχής είναι πως οι ακτίνες από το S1 και S2 στο P είναι σχεδόν παράλληλες (σχήμα 3).

σχήμα 3, φαίνεται σε μεγέθυνση η σχισμή του σχήματος 2. Οι ακτίνες από τις
S1 και S2 είναι σχεδόν παράλληλες.                                                                       

Από την γεωμετρία του σχήματος 3 βλέπουμε ότι για την διαφορά δρόμου μεταξύ των κυμάτων που αναδύονται από τις S1 και S2 ισχύει
όπου η γωνία θ είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας από τις σχισμές στο σημείο P και της καθέτου στο επίπεδο που ορίζουν οι σχισμές.

Για να υπολογίσουμε τις γωνίες θ για τις οποίες έχουμε φωτεινούς κροσσούς (μέγιστο) στο πέτασμα χρησιμοποιούμε το εξής γεγονός: Όταν η διαφορά δρόμου μεταξύ των κυμάτων ισούται με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ των κυμάτων τότε έχουμε ενισχυτική συμβολή στο σημείο P. Έτσι οι γωνίες θ για τις οποίες έχουμε ενισχυτική συμβολή είναι
όπου

Οι γωνίες για τις οποίες έχουμε σκοτεινούς κροσσούς (ελάχιστο) στο πέτασμα υπολογίζονται όταν θέσουμε την διαφορά δρόμου μεταξύ των δύο κυμάτων ίση με ημιακέραιο αριθμό μηκών κύματος. Έτσι οι γωνίες θ για τις οποίες έχουμε αναιρετική συμβολή είναι
όπου
Έτσι στο πέτασμα έχουμε μία διαδοχή σκοτεινών και φωτεινών κροσσών (σχήμα 1). Για να βρούμε την απόσταση ym του m-οστού φωτεινού κροσσού από το κέντρο της εικόνας ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αν συμβολίσουμε την γωνία θ που αντιστοιχεί στον m-οστό φωτεινό κροσσό ως θm ισχύει από γεωμετρία η σχέση

Επειδή η γωνία θm είναι πολύ μικρή η εφαπτομένη της είναι περίπου ίση με το ημίτονο της οπότε
Συνδυάζοντας την σχέση αυτή με την σχέση (1) παίρνουμε

Έτσι αφού μπορούμε να μετρήσουμε τα ym, το R και το d μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος κύματος λ.

Παρακάτω θα δούμε με δύο εφαρμογές: Στην διάταξη του Young οι σχισμές έχουν απόσταση 0.3 mm μεταξύ τους και το πέτασμα βρίσκεται σε απόσταση 2 m από τις σχισμές. Ο τρίτος φωτεινός κροσσός βρίσκεται σε απόσταση 8 mm από το κέντρο του διαμορφώματος. Βρείτε το μήκος κύματος του φωτός.

Για να λύσουμε την εφαρμογή αυτή λύνουμε τον τύπο (3) ως προς λ και έχουμε
Άρα το μήκος κύματος του φωτός είναι 400 nm.

Η επόμενη εφαρμογή αφορά το διαμόρφωμα που σχηματίζεται από τις ραδιοφωνικές πηγές του σχήματος 4.

σχήμα 4, οι δύο ραδιοφωνικές πηγές βρίσκονται σε φάση.

Αυτές οι ραδιοφωνικές πηγές εκπέμπουν κύματα συχνότητας f=2000 kHz και η μεταξύ τους απόσταση είναι 500 m. Επίσης αυτές οι πηγές ταλαντώνονται σε φάση. Για αποστάσεις πολύ μεγαλύτερες των 500 m ποιες είναι οι κατευθύνσεις μέγιστης και ελάχιστης έντασης στο διαμόρφωμα ακτινοβολίας που προκύπτει;

Το μήκος κύματος των κυμάτων που εκπέμπουν οι πηγές βρίσκεται με τον εξής τύπο:

Για να βρούμε τις διευθύνσεις μέγιστης έντασης χρησιμοποιούμε την εξίσωση (1). Κάνοντας αντικατάσταση αριθμητικές τιμές έχουμε
Οπότε για τις διάφορες τιμές του m έχουμε
Να σημειωθεί πως το m δεν μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες του 3 ή μικρότερες του -3 καθώς αυτές οι τιμές κάνουν το ημίτονο μεγαλύτερο από το 1 ή μικρότερο του -1 πράγμα αδύνατο.

Για να βρούμε τις διευθύνσεις ελάχιστης έντασης χρησιμοποιούμε την εξίσωση (2). Βάζοντας νούμερα στην εξίσωση έχουμε

Για τις διάφορες τιμές του m παίρνουμε
Για τον ίδιο λόγο με προηγουμένως το m δεν μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες του 3 και τιμές μικρότερες του -4.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου