Σάββατο, 31 Ιανουαρίου 2015

Μαθηματική περιγραφή ενός κύματος

Για να έχουμε μία λεπτομερή περιγραφή της θέσης και της κίνησης των σωματιδίων ενός μέσου όταν ένα κύμα διέρχεται από αυτό χρειαζόμαστε την έννοια της κυματοσυνάρτησης. Αυτή η συνάρτηση μας βοηθάει να υπολογίσουμε τη θέση οποιουδήποτε σωματιδίου του μέσου ανά πάσα χρονική στιγμή. Θα αναλύσουμε τα ημιτονοειδή κύματα όπου κάθε σωματίδιο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Έστω ότι το μέσο που έχουμε είναι μία τεντωμένη χορδή την οποία και θεωρούμε ως τον άξονα x του συστήματος συντεταγμένων μας. Τα κύματα που διαδίδονται στην χορδή είναι εγκάρσια με αποτέλεσμα κάθε σωματίδιο του μέσου να έχει την θέση ισορροπίας του πάνω στον άξονα των x και να μετατοπίζεται κατά απόσταση y πάνω στην κάθετη στον άξονα των x. Το y εξαρτάται τόσο από το σωματίδιο για το οποίο ενδιαφερόμαστε (συνεπώς από το x) όσο και από την χρονική στιγμή t που εξετάζουμε. Συνεπώς το y είναι συνάρτηση των x και t και γράφουμε
Έτσι αν γνωρίζουμε την συνάρτηση αυτή μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση y οποιοδήποτε σωματιδίου σε κάθε χρονική στιγμή.

Υποθέτουμε τώρα πως έχουμε ένα ημιτονοειδές κύμα που οδεύει προς τα δεξιά κατά μήκος της χορδής. Ας δούμε τι σχέση έχει η κίνηση ενός σωματιδίου της χορδής με την κίνηση ενός δεύτερου σωματιδίου δεξιά του πρώτου. Η κίνηση και των δύο είναι η ίδια κατά μία χρονική καθυστέρηση η οποία είναι ανάλογη της απόστασης των δύο σωματιδίων. Και τα δύο σωματίδια εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα. Όμως τα χαρακτηριστικά των κυκλικών κινήσεων των διαφόρων σωματιδίων είναι μεταξύ τους ασυντόνιστα κατά διάφορα κλάσματα του κύκλου. Οι διαφορές αυτές ονομάζονται διαφορές φάσης και  η φάση της κίνησης των διάφορων σωματιδίων είναι διαφορετική για κάθε σωματίδιο. Όταν για παράδειγμα ένα σημείο βρίσκεται στην μέγιστη θετική του μετατόπιση και ένα άλλο βρίσκεται στην μέγιστη αρνητική μετατόπιση τότε τα σωματίδια βρίσκονται εκτός φάσης κατά μισό κύκλο. 

Έστω λοιπόν ότι η απομάκρυνση του σωματιδίου στην θέση x=0 δίνεται από την σχέση
όπου ω η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης και Α το πλάτος της. Αν το κύμα έχει ταχύτητα u, φτάνει σε ένα σωματίδιο που απέχει απόσταση x δεξιά της αρχής του συστήματος αναφοράς σε χρόνο x/u. Έτσι η μετατόπιση του σωματιδίου (σε x απόσταση από το σύστημα αναφοράς) την χρονική στιγμή t είναι η ίδια με την μετατόπιση του σωματιδίου στο x=0 την χρονική στιγμή t-x/u. Έτσι στην εξίσωση (1) όπου t θέτουμε το t-x/u και έτσι έχουμε την εξίσωση
Η παραπάνω εξίσωση μας δίνει την μετατόπιση y ενός σωματιδίου που βρίσκεται στην θέση x την χρονική στιγμή t.

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις
όπου T η περίοδος του κύματος και f η συχνότητα του και την σχέση
μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (2) ως
Ορίζουμε μία ποσότητα k που ονομάζουμε κυματαριθμό με την σχέση
Η σχέση του k με την κυκλική συχνότητα ω είναι η
Έτσι μπορούμε να γράψουμε την κυματοσυνάρτηση ως

Αν θεωρήσουμε το t στην εξίσωση (3) σταθερό και κάνουμε την γραφική παράσταση y-x παίρνουμε ένα στιγμιότυπο της χορδής, δηλαδή την μορφή της για το συγκεκριμένο t που επιλέξαμε (κυματομορφή). Έτσι αν κάνουμε το στιγμιότυπο για t=0 έχουμε το σχήμα 1.

σχήμα 1, η μορφή που έχει το μέσο την χρονική στιγμή t=0 .

Αν θεωρήσουμε το x στην εξίσωση (3) σταθερό και κάνουμε την γραφική παράσταση y-t δεν παίρνουμε την εικόνα της χορδής όπως στην προηγούμενη περίπτωση αλλά παίρνουμε μία γραφική παράσταση της θέσης y ενός σωματιδίου με θέση x συναρτήσει του t. Αν επιλέξουμε για x=0 τότε έχουμε το σχήμα 2.

σχήμα 2, η γραφική παράσταση y-t όταν x=0 .

Αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά η κυματοσυνάρτηση του είναι η
Στις σχέσεις (3) και (4) η ποσότητα
ονομάζεται φάση και μετριέται πάντα σε rad. Η τιμή της καθορίζει ποιο μέρος του κύκλου παρουσιάζεται για ένα συγκεκριμένο x και t. Για θετική κορυφή η φάση μπορεί να έχει τιμές π/2, 5π/2, 9π/2 κτλ ενώ για σημείο με μηδενική μετατόπιση μπορεί να ισούται με 0, π, 2π, 3π κτλ. Επίσης, η ταχύτητα του κύματος είναι η ταχύτητα με την οποία πρέπει να μετακινούμαστε μαζί με το κύμα ώστε να συμπορευόμαστε με ένα σημείο σταθερής φάσης. Για κύματα που διαδίδονται προς τα δεξιά έχουμε δηλαδή
Παραγωγίζοντας ως προς x έχουμε ότι
Εξαιτίας αυτής της σχέσης το u ονομάζεται και φασική ταχύτητα του κύματος.

Μπορούμε με την κυματοσυνάρτηση να βρούμε την εγκάρσια ταχύτητα uy ενός σωματιδίου που απέχει απόσταση x από την αρχή του συστήματος αναφοράς για κάποια χρονική στιγμή. Για να το πετύχουμε αυτό πολύ απλά παίρνουμε την μερική παράγωγο της σχέσης (3) ως προς t. Οπότε έχουμε
Έπειτα παίρνοντας την μερική παράγωγο ως προς t της σχέσης (5) (δηλαδή την δεύτερη μερική παράγωγο της σχέσης (3)) αποκτάμε μία σχέση για την επιτάχυνση των σωματιδίων του μέσου ay. Έτσι έχουμε
Αν πάρουμε την δεύτερη μερική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης ως προς x έχουμε
Από τις εξισώσεις (6) και (7) ισχύει
Εκτός από την εξίσωση (3) και η εξίσωση (4) είναι λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης. Αυτή η διαφορική εξίσωση λέγεται κυματική εξίσωση και όταν παρουσιάζεται σε κάποιο πρόβλημα ξέρουμε ότι η διαταραχή περιγράφεται ως κύμα κατά μήκος του άξονα x με ταχύτητα u.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου