Παρασκευή, 9 Ιανουαρίου 2015

Προβλήματα ελαχιστοποίησης συναρτήσεων

Θα εξετάσουμε δύο εφαρμογές στις οποίες κατασκευάζουμε μία συνάρτηση που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό πρόβλημα και έπειτα βρίσκουμε το ελάχιστο της. Η πρώτη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο δεδομένου όγκου V=64 cm2. Βρείτε τις διαστάσεις του ώστε να χρειαστούμε το λιγότερο δυνατόν υλικό για να το κατασκευάσουμε α) αν το δοχείο είναι ανοικτό από πάνω β) αν είναι κλειστό από πάνω.

α) Έστω ότι το δοχείο έχει ύψος h και ακτίνα r. Επίσης έστω ότι η επιφάνεια του υλικού που θα χρειαστούμε είναι A. Αφού το δοχείο είναι κυλινδρικό και λείπει η πάνω βάση του ισχύουν οι εξισώσεις:

Λύνουμε την (1) ως προς h και κάνουμε αντικατάσταση στην (2) οπότε παίρνουμε την συνάρτηση
Το επόμενο βήμα είναι να πάρουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς r η οποία είναι
Για να βρούμε το ελάχιστο r βρίσκουμε την ρίζα της παραγώγου της A(r). Έτσι έχουμε ότι
Οπότε για το h ισχύει
β) Τώρα δεν λείπει η πάνω βάση του κυλίνδρου οπότε για τον όγκο V ισχύει η εξίσωση (1) και για το Α ισχύει η εξίσωση
Οπότε για να λύσουμε το β ερώτημα κάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία με τις εξισώσεις (1) και (3). Οι διαστάσεις του κυλίνδρου που προκύπτουν είναι

Μία άλλη εφαρμογή που θα εξετάσουμε είναι η εξής: Έχουμε έναν άντρα με μία βάρκα που βρίσκεται στο σημείο P που απέχει 5 km από το σημείο A. Αυτός θέλει να φτάσει όσο το δυνατόν πιο γρήγορα στο σημείο B που απέχει 6 km από το Α (σχήμα 1). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ανήκει σε μία ακτή οπότε αυτός θα αποβιβαστεί σε κάποιο σημείο της ακτής και έπειτα θα περπατήσει για να φτάσει στο B. Το σημείο αυτό πόσο απέχει από το A αν η βάρκα στο νερό κινείται με ταχύτητα 2 km/h και ο άντρας στην ακτή περπατάει η ταχύτητα 4 km/h;

σχήμα 1, ο άνθρωπος πάνω στην βάρκα βρίσκεται στο σημείο P και θέλει να
φτάσει στο σημείο B μέσω του σημείου C.
Έστω C το σημείο στο οποίο αποβιβάζεται ο άντρας. Το σημείο αυτό απέχει απόσταση x από το σημείο Α. Η απόσταση που διανύει στο νερό ο άντρας είναι
την οποία την καλύπτει σε χρόνο
Η απόσταση που διανύει ο άντρας στην ακτή είναι
την οποία την καλύπτει σε χρόνο
Οπότε ο συνολικός χρόνος που χρειάζεται για να πάει ο άντρας από το P στο B είναι
Για να βρούμε το x που μας δίνει το ελάχιστο t παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση ως προς x και έπειτα βρίσκουμε την ρίζα της παραγώγου. Έτσι έχουμε
Η ρίζα της παραγώγου δίνεται από την εξίσωση
Άρα ο άντρας πρέπει να αποβιβαστεί 2.89 km δεξιά του A.

Πηγή: Γενικά μαθηματικά Frank Ayres

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου