Σάββατο, 31 Ιανουαρίου 2015

Και όμως δεν ισχύει ο νόμος βρόγχων του Kirchhoff (υπό προϋποθέσεις φυσικά)

Θα εξετάσουμε κάτι που συνεχώς κάνουμε λάθος στην φυσική και συγκεκριμένα στον ηλεκτρομαγνητισμό. Επίσης θα εξετάσουμε κάτι που τα πιο πολλά βιβλία φυσικής κάνουν λάθος. Ο νόμος του Kirchhoff στην περίπτωση που έχουμε μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή διαμέσου ενός κυκλώματος δεν ισχύει. Παρακάτω θα δούμε γιατί.


Έστω ότι έχουμε το κύκλωμα του σχήματος 1 που περιέχει δύο αντιστάτες R1 και R2.

σχήμα 1, δύο αντιστάτες R1 και R2 σε ένα κύκλωμα.
Θεωρούμε πως όλα τα καλώδια του κυκλώματος έχουν μηδενική αντίσταση. Κάθετα στην οθόνη έχουμε έναν ηλεκτρομαγνήτη τον οποίο και ανοίγουμε. Την στιγμή που τον ανοίγουμε το μαγνητικό πεδίο B (θεωρούμε την φορά του προς τα έξω) αυξάνεται και έπειτα παραμένει σταθερό. Όταν η μαγνητική ροή ΦB μέσα στο κύκλωμα αλλάζει, σύμφωνα με τον νόμο του Faraday έχουμε
Για να υπολογίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ακολουθούμε την διαδρομή A1-D1-D2-A2-A1. Συνεπώς ο νόμος των βρόγχων του Kirchhoff δεν ισχύει αφού αυτός υπαγορεύει ότι

Εξαιτίας της μεταβαλλόμενης μαγνητικής ροής έχουμε ΗΕΔ στο κύκλωμα ίση με
Επίσης αν το μαγνητικό πεδίο αυξάνεται συναρτήσει του χρόνου, το ρεύμα Ι στο κύκλωμα έχει την φορά του σχήματος 1 σύμφωνα με τον νόμο του Lenz. Οπότε για το ρεύμα θα ισχύει

Η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων A2 και D2 είναι
και η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων A1 και D1 είναι
Δηλαδή αν και τα σημεία A2, Α1 και D2, D1 συνδέονται με αγωγούς μηδενικής αντίστασης οι διαφορές δυναμικού VΑ2-VD2 και VA1-VD1 είναι διαφορετικές. Μάλιστα έχουν και αντίθετο πρόσημο. Έτσι αποδείξαμε ότι στην περίπτωση ύπαρξης μεταβαλλόμενης μαγνητικής ροής δεν ισχύει ο νόμος βρόγχων του Kirchhoff.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έχουμε το κύκλωμα του σχήματος 2 το οποίο αποτελείται από έναν αντιστάτη, μία πηγή, έναν πυκνωτή και ένα πηνίο.

σχήμα 2, ένα κύκλωμα με πηγή, πυκνωτή, αντιστάτη και πηνίο.
Κλείνουμε τον διακόπτη και ρεύμα I ρέει στην διεύθυνση που φαίνεται στο σχήμα. Ο νόμος του Faraday μας υπαγορεύει πως
καθώς εξαιτίας του πηνίου έχουμε μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή διαμέσου του κυκλώματος. Ας δούμε όμως πως διαμορφώνεται το παραπάνω ολοκλήρωμα. Τα ηλεκτρικά πεδία μέσα στην πηγή, στον αντιστάτη και στον πυκνωτή φαίνονται στο σχήμα. Όμως επειδή το πηνίο είναι ιδανικό (δηλαδή δεν έχει αντίσταση) δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο μέσα του. Έτσι ξεκινώντας την διαδρομή από το a και τελειώνοντας την πάλι στο a (και διαγράφοντας την με φορά την φορά του ρεύματος) το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γράφεται
και έτσι από τον νόμο του Faraday έχουμε
Οπότε η παραπάνω εξίσωση σε ένα κύκλωμα R-L-C δεν προκύπτει από τον νόμο του Kirchhoff όπως θα περιμέναμε αλλά από τον νόμο του Faraday. Συνεπώς είναι λάθος να τον αποδίδουμε στον νόμο του Kirchhoff.

Και το κερασάκι στην τούρτα είναι το εξής: Αν τοποθετήσουμε ένα βολτόμετρο στα άκρα του πηνίου, αυτό δεν θα αναγράψει την τιμή μηδέν, όπως θα περιμέναμε αφού Ε=0, αλλά θα αναγράψει την τιμή
Αυτό συμβαίνει διότι με την σύνδεση του βολτομέτρου στο κύκλωμα είναι σαν να αφαιρούμε το πηνίο με αποτέλεσμα να μην έχουμε πλέον μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή και έτσι ο κανόνας του Kirchhoff "λειτουργεί" ξανά.

Πηγή: Τα παραπάνω είναι μέρος διάλεξης του Walter Lewin στο edx στο πλαίσιο του μαθήματος PHYS102x Electricity & Magnetism

2 σχόλια:

  1. Μου άρεσε η ανάρτηση και τα σχόλια που προέκυψαν από αυτή.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ πολύ! Αν και αμφιλεγόμενη η ανάρτηση (καθώς δεν συμφωνούν με αυτή πολλά άτομα στην πραγματικότητα) παρουσιάζει μία παρανόηση που έχει γίνει.

      Διαγραφή