Παρασκευή, 27 Φεβρουαρίου 2015

Εφαρμογές του νόμου του Ampere

Ο νόμος του Ampere είναι ένας εναλλακτικός τρόπος για τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ μαγνητικού πεδίου και των πηγών του. Αυτός ο νόμος αποδίδει σε συμμετρικά προβλήματα καθώς η χρήση του είναι πιο εύκολη από τον νόμο Biot και Savart. Επίσης ο νόμος του Ampere είναι ανάλογος του νόμου του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο.

Ο νόμος του Ampere δηλώνει πως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του μαγνητικού πεδίου Β κατά μήκος μίας κλειστής διαδρομής ισούται με την διαπερατότητα του κενού μ0 επί το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων Ιencl που περικλείονται από την διαδρομή ολοκλήρωσης (σχήμα 1).

σχήμα 1, φαίνονται το συνολικό ρεύμα που περικλείεται από τον
δρόμο ολοκλήρωσης, το μαγνητικό πεδίο και ένα τμήμα dl του
δρόμου ολοκλήρωσης.
Έτσι η μορφή του νόμου του Ampere είναι

Θα δούμε δύο εφαρμογές του νόμου του Ampere. Η πρώτη είναι η εύρεση του μαγνητικού πεδίου μέσα σε κυλινδρικό αγωγό άπειρου μήκους ακτίνας R που διαρρέεται από ρεύμα Ι (σχήμα 2).

σχήμα 2, το ρεύμα μέσα στο αγωγό είναι Ι. Εφαρμόζουμε τον νόμο του Ampere για τον κύκλο ακτίνας r.

Για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου σε ακτίνα r επιλέγουμε ως δρόμο ολοκλήρωσης έναν κύκλο ακτίνας r με κέντρο τον άξονα του αγωγού. Εξαιτίας της συμμετρίας του προβλήματος το διάνυσμα Β εφάπτεται σε κάθε σημείο του κύκλου και έχει το ίδιο μέτρο. Συνεπώς
Για να υπολογίσουμε το Iencl, δηλαδή το ρεύμα που περικλείεται από τον δρόμο ολοκλήρωσης, αρκεί να σκεφτούμε πως
όπου J η πυκνότητα ρεύματος. Έτσι ισχύει
Οπότε ο νόμος του Ampere δίνει
Όταν r=R τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται
Η εξίσωση αυτή συμπίπτει με την εξίσωση που μας δίνει το μέτρο του μαγνητικού πεδίου γύρω από ευθύγραμμο αγωγό άπειρου μήκους. Το σχήμα 3 μας δίνει την γραφική παράσταση του Β συναρτήσει του r και μέσα στον αγωγό και έξω.

σχήμα 3, το μέτρο του διανύσματος Β στο εσωτερικό και στο εξωτερικό ενός
αγωγού άπειρου μήκους.
Η επόμενη εφαρμογή αφορά τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου σε ένα σωληνοειδές πηνίο που διαρρέεται από ρεύμα Ι.

Ένα σωληνοειδές πηνίο αποτελείται από μία αγώγιμη ελικοειδή περιέλιξη γύρω από έναν κύλινδρο. Κάθε σπείρα του πηνίου μπορεί να θεωρηθεί τέλειος κύκλος. Όλες οι σπείρες του σωληνοειδούς διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα I και το ολικό μαγνητικό πεδίο Β είναι το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους μαγνητικών πεδίων που οφείλονται σε κάθε σπείρα.

Αν το πηνίο έχει μεγάλο μήκος, το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του είναι ομογενές και παράλληλο στον άξονα του. Το εξωτερικό πεδίο είναι σχεδόν μηδενικό. Έτσι για να εφαρμόσουμε τον νόμο του Ampere επιλέγουμε ως δρόμο ολοκλήρωσης την διαδρομή abcd (σχήμα 4).

σχήμα 4, η τομή ενός σωληνοειδούς πηνίου. Φαίνεται η φορά του ρεύματος για κάθε σπείρα του πηνίου. Το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του είναι ομογενές ενώ στο εξωτερικό του σχεδόν μηδενικό.
Το μαγνητικό πεδίο κατά μήκος της πλευράς ab (που έχει μήκος L) είναι παράλληλο σε αυτήν οπότε για την πλευρά αυτή ισχύει
Επίσης, το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στις πλευρές bc και da οπότε η συνεισφορά τους στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του νόμου του Ampere είναι μηδέν. Και τέλος, το μαγνητικό πεδίο είναι μηδενικό κατά μήκος της πλευράς cd οπότε πάλι η συνεισφορά αυτής της πλευράς στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Έτσι για το ολοκλήρωμα κατά μήκος της κλειστής διαδρομής abcd ισχύει
Έστω τώρα ότι η διάταξη έχει n σπείρες ανά μονάδα μήκους. Οπότε, σε μήκος L ο συνολικός αριθμός σπειρών είναι nL. Κάθε μία σπείρα περνάει μία φορά από το ορθογώνιο abcd. Συνεπώς
Έτσι από τον νόμο του Ampere έχουμε
Αφού η πλευρά ab δεν συμπίπτει απαραίτητα με τον άξονα του σωληνοειδούς, αποδεικνύεται ότι το πεδίο στο κέντρο του πηνίου είναι ομογενές σε όλη την έκταση της διατομής.

Το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του σωληνοειδούς είναι το μέγιστο ενώ όσο προχωράμε προς τα άκρα του το πεδίο μειώνεται. Για πηνία μεγάλου μήκους (σε σχέση με την διάμετρο τους) το πεδίο στα άκρα του πηνίου είναι ακριβώς μισό του πεδίο στο κέντρο. Για πηνία μικρού μήκους και μεγάλης διαμέτρου η διακύμανση του πεδίου είναι πιο περίπλοκη. Η διακύμανση αυτή φαίνεται στο σχήμα 5.
σχήμα 5, φαίνεται το μέτρο του μαγνητικού πεδίου συναρτήσει του x για ένα
πηνίο με διάμετρο 2a και μήκος 4a.
Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου