Τρίτη, 3 Φεβρουαρίου 2015

Ροή ρευστών σε κλειστούς αγωγούς

Πολλές φορές για να επιλυθεί ένα πρόβλημα ροής ρευστών σε κλειστούς αγωγούς χρησιμοποιείται το θεώρημα του Bernoulli το οποίο ισχύει για ιδανικά ρευστά. Όμως τα πραγματικά ρευστά διαφέρουν από τα ιδανικά και έχουν πιο πολύπλοκη ροή. Αυτό συμβαίνει γιατί προκαλούνται διατμητικές τάσεις μεταξύ των στρώσεων του ρευστού και μεταξύ των τοιχωμάτων του αγωγού και του ρευστού. Έτσι για να λύσουμε τέτοια προβλήματα ροής πρέπει να καταφύγουμε σε πειραματικές και ημιεμπερικές μεθόδους.

Η μόνιμη ροή των πραγματικών ρευστών διακρίνεται σε δύο τύπους οι οποίες ονομάζονται στρωτή και τυρβώδης ροή. Θα μελετήσουμε αρχικά την στρωτή ροή. Σε αυτό τον τύπο ροής, τα σωματίδια του ρευστού κινούνται σε παράλληλες τροχιές κατά στρώσεις. Τα μέτρα των ταχυτήτων δύο γειτονικών στρώσεων δεν είναι ίσα. Η σχέση μεταξύ της διατμητικής τάσης τ, της απόλυτης συνεκτικότητας (ιξώδες) μ και της κλίσης της ταχύτητας dv/dy είναι
Τα μεγέθη αυτά, στην περίπτωση που έχουμε ρευστό μεταξύ δύο πλακών φαίνονται στο σχήμα 1.

σχήμα 1, η άνω πλάκα ασκεί διατμητική τάση τ στο ρευστό με ιξώδες μ.
Το όριο μεταξύ της στρωτής και της τυρβώδης ροής μπορούμε να το θέσουμε βάση του αριθμού Reynolds. Ο αριθμός Reynolds (Re) είναι αδιάστατος και παριστάνει τον λόγο των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις συνεκτικότητας. Μπορούμε να τον υπολογίσουμε από τον τύπο
όπου V η μέση ταχύτητα του ρευστού, d η διάμετρος του αγωγού και ν η κινηματική συνεκτικότητα του ρευστού. Αν ο αριθμός Re είναι μικρότερος από 2000 τότε έχουμε στρωτή ροή. Αν όχι τότε έχουμε τυρβώδη ροή.

Ας δούμε τώρα την τυρβώδη ροή. Σε αυτό τον τύπο ροής τα σωματίδια του ρευστού κινούνται ακανόνιστα προς όλες τις διευθύνσεις. Η σχέση για τις διατμητικές τάσεις είναι
όπου η ένας συντελεστής που εξαρτάται από την πυκνότητα και την κίνηση του ρευστού και αντιπροσωπεύει την επίδραση της τυρβώδους ροής.

Ας δούμε τώρα τις εξισώσεις που διέπουν την ροή ρευστού μέσα σε ένα σωλήνα. Η διατμητική τάση τ0 που αναπτύσσεται στο τοίχωμα σωλήνα δίνεται από τον τύπο

όπου f ένας συντελεστής που θα δούμε παρακάτω και ρ η πυκνότητα του υγρού. Η κατανομή των διατμητικών τάσεων σε μία διατομή του αγωγού είναι γραμμική και μπορεί να υπολογισθεί από τους τύπους
όπου p1 και p2 οι πιέσεις στα άκρα του αγωγού, L το μήκος του αγωγού, r η ακτίνα στην οποία θέλουμε να υπολογίσουμε την διατμητική τάση, w το ειδικό βάρος του νερού και hL η πτώση της γραμμής ενέργειας.

Επίσης έχει αποδειχθεί ότι για στρωτή ροή η κατανομή των ταχυτήτων σε μία διατομή ακολουθεί έναν παραβολικό κανόνα μεταβολής. Δηλαδή η εξίσωση κατανομής ταχυτήτων είναι η
όπου vc η ταχύτητα στο κέντρο του αγωγού. Αντίστοιχες σχέσεις για την τυρβώδη ροή έχουν προταθεί πολλές. Ένας εμπειρικός τύπος είναι ο
όπου r0 η ακτίνα το αγωγού και n=1/7 για λείους σωλήνες με Re<100000 ενώ n=1/8 για λείους σωλήνες με 100000<Re<400000. Πρέπει να υπογραμμιστεί πως στην τυρβώδη ροή η κατανομή ταχυτήτων είναι πιο ομοιόμορφη από την στρωτή ροή.

Συναντήσαμε στους τύπους παραπάνω την πτώση της γραμμής ενέργειας (ύψος απωλειών ενέργειας) και τον συντελεστή f. Ας δούμε πως υπολογίζονται αυτές οι δύο ποσότητες. Αρχικά το ύψος απωλειών ενέργειας υπολογίζεται από τον τύπο Darcy-Weisbach ο οποίος είναι
και ουσιαστικά αντιπροσωπεύει το πόση ενέργεια χάνει το ρευστό όταν διανύσει αγωγό μήκους L. Έπειτα ο συντελεστής f, που ονομάζεται συντελεστής τριβής, υπολογίζεται μαθηματικά για την στρωτή ροή με τον τύπο
Όμως για την τυρβώδη ροή δεν υπάρχει απλή μαθηματική σχέση για τον υπολογισμό του. Έτσι το Hydraulic Institute και πολλοί μηχανικοί θεωρούν αξιόπιστη την σχέση του Colebrook η οποία είναι η

όπου e/d η σχετική τραχύτητα του αγωγού. Για να επιλυθεί αυτή η σχέση χρειάζονται μέθοδοι αριθμητικής ανάλυσης όπως επαναληπτικές διαδικασίες.

Πηγή: Μηχανική των ρευστών και υδραυλική, Ranald V. Giles

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου