Παρασκευή, 20 Φεβρουαρίου 2015

Άνωση και βάρος

Θα δούμε δύο εφαρμογές σχετικές με την άνωση που δέχονται σώματα από υγρά και με το βάρος τους. Η πρώτη αφορά την δεξαμενή του σχήματος 1 που είναι ανεστραμμένη. Αν τα τοιχώματα της δεν έχουνε βάρος πόσο είναι το βάρος της; Και αν η δεξαμενή κρατιέται έτσι ώστε να βρίσκεται 10 m κάτω από την επιφάνεια του νερού (σχήμα 2) πόση είναι η δύναμη που ασκείται στην οροφή της δεξαμενής από τον αέρα που βρίσκεται εντός της; Δίνεται πως η διάμετρος της δεξαμενής είναι D=6 m.


σχήμα 1, η δεξαμενή που περιέχει αέρα είναι ανεστραμμένη.

σχήμα 2, η δεξαμενή βρίσκεται 10 m κάτω από την
στάθμη του υγρού.
Για να απαντήσουμε στο πρώτο ερώτημα αρκεί να σκεφτούμε ότι το βάρος της δεξαμενής ισούται με το βάρος του εκτοπιζόμενου νερού. Έτσι
Για να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα θα χρησιμοποιήσουμε την υπόθεση ότι ο αέρας συμπιέζεται ισόθερμα οπότε μεταξύ της αρχικής κατάστασης (σχήμα 1) και της τελικής (σχήμα 2) ισχύει η σχέση
Ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:
Ο όρος 10.3 m στις πιέσεις είναι η επίδραση της ατμοσφαιρικής πίεσης καθώς στην εξίσωση της ισόθερμης μεταβολής οι πιέσεις είναι απόλυτες.

Οπότε παίρνουμε την εξίσωση
Συνεπώς y=2 (δεχόμαστε μόνο την θετική ρίζα). Η σχετική πίεση του αέρα μέσα στην δεξαμενή είναι
Δεν χρησιμοποιούμε τον όρο 10.3 m καθώς μας ενδιαφέρει η σχετική πίεση. Έτσι η δύναμη που ασκείται στην οροφή της δεξαμενής από τον αέρα είναι

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η ακόλουθη: Έχουμε ένα πλοίο σε αλμυρό νερό (σχήμα 3) που έχει κατακόρυφες πλευρές στην ίσαλο. Στην αρχή ζυγίζει 4000 t και έχει βύθισμα 6.8 m . Έπειτα ξεφορτώνει 300 t και το βύθισμα του γίνεται 6.5 m . Αν το πλοίο μετά την αφαίρεση του φορτίου του τοποθετηθεί σε γλυκό νερό, ποιο θα είναι το βύθισμα του;

σχήμα 3, φαίνεται το πλοίο. Το βύθισμα του μεταβάλλεται και εξαρτάται από το
είδος του νερού (γλυκό ή αλμυρό) και από το βάρος του πλοίου.

Θα εφαρμόσουμε τρεις φορές την συνθήκη ΣF=0 για το πλοίο. Την πρώτη φορά την εφαρμόζουμε όταν το βάρος του πλοίου είναι 4000 t και όταν το νερό είναι αλμυρό. Έτσι έχουμε
Έτσι ο αρχικός εκτοπισμένος όγκος νερού είναι 3902 m3. Έπειτα, εφαρμόζουμε ξανά την συνθήκη αυτή όταν το βάρος του πλοίου είναι 3700 t και το νερό είναι αλμυρό. Οπότε
Συνεπώς ο τελικός εκτοπισμένος όγκος νερού είναι 3610m3. Όμως ισχύει
όπου ΔV η μεταβολή του όγκου του εκτοπισμένου νερού, Α το εμβαδόν της επιφάνειας στο ίσαλο και Δh η μεταβολή του βυθίσματος. Έτσι για το A έχουμε

Εφαρμόζοντας άλλη μία φορά την συνθήκη ισορροπίας όταν το βάρος του πλοίου είναι 3700 t και το νερό είναι γλυκό έχουμε
Κατά την μετακίνηση του πλοίου από το αλμυρό νερό στο γλυκό ισχύει
Συνεπώς το βύθισμα του είναι 6.6 m .

Πηγή: Μηχανική των ρευστών και υδραυλική Ranald V. Giles

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου