Κυριακή, 8 Φεβρουαρίου 2015

Ολίσθηση και ανατροπή

Έχουμε ένα κεκλιμένο επίπεδο στο οποίο υπάρχει η δυνατότητα αλλαγής της κλίσης του. Πάνω του έχουμε τοποθετήσει ένα σώμα μάζας m το οποίο έχει πλάτος a=0.5 m και ύψος b=0.75 m . Το κέντρο βάρους του ταυτίζεται με το γεωμετρικό του κέντρο και ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μs=0.4 . Αυξάνουμε την κλίση με αργό ρυθμό. Για ποια τιμή της κλίσης θ το σώμα θα ανατραπεί (αν δεν ολισθήσει πρώτα); Για ποια τιμή της κλίσης το σώμα θα ολισθήσει (αν δεν ανατραπεί πρώτα); Ποια από τις δύο περιπτώσεις θα συμβεί πρώτα;

Στο σχήμα 1 φαίνεται το σώμα και οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό όταν βρίσκεται σε ισορροπία.


σχήμα 1, φαίνεται το σώμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και οι δυνάμεις που
ασκούνται σε αυτό. Το σημείο Α είναι η κάτω αριστερή γωνία του σώματος.
Επίσης, όλη η βάση του σώματος βρίσκεται σε επαφή με το κεκλιμένο επίπεδο.
Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του W, η στατική τριβή Js και η αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο N.

Όταν το σώμα αρχίζει να ανατρέπεται το μόνο σημείο του που βρίσκεται σε επαφή με το κεκλιμένο επίπεδο είναι το σημείο Α σε αντίθεση με την κατάσταση του σχήματος 1 όπου όλη η βάση του σώματος βρίσκεται σε επαφή με το κεκλιμένο επίπεδο. Συνεπώς οι δυνάμεις N και Js ασκούνται στο σημείο A σε αυτή την οριακή περίπτωση (η δύναμη Ν είναι κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο ενώ η Js είναι παράλληλη σε αυτό). Επίσης, όταν το σώμα είναι έτοιμο να ανατραπεί το άθροισμα των ροπών ως προς το σημείο Α πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή
Καθώς όμως οι δυνάμεις N και Js ασκούνται στο σημείο Α οι ροπές που προκαλούν ως προς αυτό το σημείο είναι μηδενικές, δηλαδή
Έτσι συμπεραίνουμε ότι
Αυτό συνεπάγεται πως η ευθεία δράσης του βάρους διέρχεται από το σημείο Α. Έτσι το διάγραμμα ελεύθερου σώματος την στιγμή που το σώμα είναι έτοιμο να ανατραπεί πρέπει να είναι αυτό του σχήματος 2.

σχήμα 2, φαίνεται το διάγραμμα ελεύθερου σώματος στην περίπτωση
που το σώμα είναι έτοιμο να ανατραπεί.

Από την γεωμετρία του σχήματος 2 έχουμε ότι
Συνεπώς για να ανατραπεί το σώμα η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου πρέπει να γίνει ίση ή να ξεπεράσει τις 33.7 μοίρες.

Ας υπολογίσουμε τώρα την οριακή τιμή της κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου για την ολίσθηση. Για να είναι έτοιμο να ολισθήσει το σώμα, η στατική τριβή πρέπει να φτάσει την μέγιστη τιμή της δηλαδή να έχουμε

Επίσης για το σώμα στην οριακή αυτή κατάσταση ισχύει
και
Οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι αυτές που φαίνονται στο σχήμα 3.

σχήμα 3, το βάρος του σώματος αναλύεται σε δύο συνιστώσες.

Αναλύοντας πρώτα την εξίσωση (2) έχουμε
Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη με μs ισχύει
Όπως είδαμε το πρώτο μέλος είναι η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής Js (δηλαδή η τριβή που έχουμε την στιγμή που το σώμα είναι έτοιμο να ολισθήσει). Οπότε η παραπάνω σχέση γράφεται
Αναλύοντας την εξίσωση (1) τώρα έχουμε
Εξαιτίας της σχέσης (3) ισχύει λοιπόν
Συνεπώς για να έχουμε ολίσθηση η κλίση του κεκλιμένου επιπέδου πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση από 21.8 μοίρες.

Αφού η γωνία που απαιτείται για να έχουμε ολίσθηση είναι μικρότερη από την γωνία που απαιτείται για να έχουμε ανατροπή, θα συμβεί πρώτα ολίσθηση καθώς αυξάνουμε την κλίση του κεκλιμένου επιπέδου.

Πηγή: Πανεπιστημιακή φυσική Hugh D. Young

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου