Τετάρτη, 11 Φεβρουαρίου 2015

Σειρές Taylor και Maclaurin και εφαρμογές τους

Θα εξετάσουμε την εφαρμογή σειρών Taylor και Maclaurin στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Λογάριθμοι, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν σε δυναμοσειρές. Όμως πρέπει πρώτα να δούμε τι είναι η δυναμοσειρά και τι οι σειρές Taylor και Maclaurin.

Μία σειρά που έχει την μορφή
όπου ci σταθερές ονομάζεται δυναμοσειρά του x. Ομοίως μία σειρά που έχει την μορφή
ονομάζεται δυναμοσειρά του x-a.

Ας δούμε τώρα τι είναι σειρές Maclaurin και Taylor. Αν μία συνάρτηση f(x) αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά του x τότε θα έχει την μορφή:
Η σειρά αυτή ονομάζεται Maclaurin. Αντίστοιχα αν μία συνάρτηση f(x) αναπτυχθεί σε μία δυναμοσειρά x-a τότε αυτή η σειρά ονομάζεται σειρά Taylor και έχει την μορφή
Παρατηρούμε πως η σειρά Maclaurin προκύπτει από την σειρά Taylor για a=0. Για να εφαρμόσουμε τους παραπάνω τύπους πρέπει η f(x) να είναι παραγωγίσιμη και συνεχής.

Παρακάτω βλέπουμε τα αναπτύγματα Taylor ορισμένων βασικών συναρτήσεων.


Επίσης, παρακάτω βλέπουμε τα αναπτύγματα Maclaurin των ίδιων συναρτήσεων με την διαφορά ότι στην θέση του x έχουμε θέσει το bx (ή το b+x στην περίπτωση του Νεπέριου λογαρίθμου).


Ας δούμε τώρα τρεις εφαρμογές. Αρχικά θα αναλύσουμε την εφαρμογή της σειράς Maclaurin στην επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων. Έστω η εξίσωση
την οποία θέλουμε να λύσουμε. Επειδή είναι μη γραμμική μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια επαναληπτική διαδικασία όπως η μέθοδος Newton-Raphson. Εφαρμόζοντας την μέθοδο αυτή βρίσκουμε ότι οι ρίζες της είναι οι +0.535 και -0.535 . Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε και την σειρά Μaclaurin για να την επιλύσουμε. Αντικαθιστούμε λοιπόν το cosx με τους δύο πρώτους όρους του Maclaurin αναπτύγματος του, δηλαδή χρησιμοποιούμε την σχέση
με αποτέλεσμα να έχουμε πλέον να επιλύσουμε την εξίσωση
Η λύση της είναι η ακόλουθη:
Βλέπουμε λοιπόν ότι βρήκαμε το ίδιο αποτέλεσμα με την μέθοδο Newton-Raphson.

Η επόμενη εφαρμογή είναι η εύρεση του ορίου
Για να το επιλύσουμε χωρίς την χρήση δυναμοσειρών χρησιμοποιούμε τον κανόνα του De Hospital αφού έχουμε απροσδιοριστία 0/0. Έτσι έχουμε
Χρησιμοποιώντας δυναμοσειρές για την επίλυση του ορίου αυτού, αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις ex, e-x και sinx με τα Maclaurin αναπτύγματα τους. Έτσι έχουμε


Παρατηρούμε πως και με τον κανόνα του De Hospital και με την χρήση δυναμοσειρών βρήκαμε την ίδια τιμή.

Η τελευταία εφαρμογή είναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος
Αν το επιλύσουμε με μία αριθμητική μέθοδο (διαχωρισμός του εμβαδού που ορίζει το ολοκλήρωμα σε μικρές λωρίδες) βρίσκουμε ότι η τιμή του είναι 0.4730403 . Για να υπολογίσουμε την τιμή του με την χρήση σειρών Maclaurin, αντικαθιστούμε το sinx με το Maclaurin ανάπτυγμα του. Έτσι έχουμε

Παρατηρούμε πως η αριθμητική μέθοδος και η μέθοδος με την χρήση δυναμοσειρών μας δίνουν περίπου το ίδιο αποτέλεσμα με πολύ μικρή απόκλιση.

Οι αριθμητικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν αναλύονται στις αναρτήσεις Η μέθοδος Newton-Raphson και Αριθμητική ολοκλήρωση .

Πηγή: Γενικά μαθηματικά, Frank Ayres

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου